解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_{n+1},a_n,a_{n-1}$ を含むが、係数の形を見ると差 $a_{n+1}-a_n$ を導入すると整理しやすい。

そこで $b_n=a_{n+1}-a_n$ とおき、元の漸化式を $b_n,\ b_{n-1}$ で書き直す。すると $b_n$ についての一次の漸化式になり、まず $b_n$ を求め、そのあと

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

として $a_n$ を求めるのが自然である。

解法1

**(1)**

$b_n$ を $b_{n-1}$ で表す。

$b_n=a_{n+1}-a_n,\ b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$ であるから、

$$ a_{n+1}=a_n+b_n,\qquad a_{n-1}=a_n-b_{n-1} $$

である。これを

$$ (n+3)a_{n+1}-(2n+4)a_n+(n+1)a_{n-1}=0 $$

に代入すると、

$$ (n+3)(a_n+b_n)-(2n+4)a_n+(n+1)(a_n-b_{n-1})=0 $$

となる。展開して整理すると、

$$ {(n+3)-(2n+4)+(n+1)}a_n+(n+3)b_n-(n+1)b_{n-1}=0 $$

であり、$a_n$ の係数は $0$ になるから、

$$ (n+3)b_n-(n+1)b_{n-1}=0 $$

したがって、

$$ b_n=\frac{n+1}{n+3}b_{n-1}\qquad (n\geqq 2) $$

である。

**(2)**

$b_n$ を $n$ と $b_1$ で表す。

（1） より、

$$ b_n=\frac{n+1}{n+3}b_{n-1} $$

であるから、これを繰り返すと

$$ b_n=\frac{n+1}{n+3}\cdot \frac{n}{n+2}\cdot \frac{n-1}{n+1}\cdots \frac{3}{5},b_1 $$

となる。途中で約分すると、

$$ b_n=\frac{3\cdot 4}{(n+2)(n+3)},b_1 $$

ゆえに

$$ b_n=\frac{12}{(n+2)(n+3)},b_1 $$

である。

**(3)**

$a_1=\dfrac13,\ a_2=\dfrac12$ のとき $a_n$ を求める。

まず

$$ b_1=a_2-a_1=\frac12-\frac13=\frac16 $$

である。したがって （2） より

$$ b_n=\frac{12}{(n+2)(n+3)}\cdot \frac16=\frac{2}{(n+2)(n+3)} $$

となる。

ここで

$$ \frac{2}{(n+2)(n+3)}=2\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) $$

と部分分数分解できるので、

$$ b_k=2\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right) $$

である。よって

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

より、

$$ a_n=\frac13+\sum_{k=1}^{n-1}2\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right) $$

となる。これは望ましく消去して、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right) =\frac13-\frac{1}{n+2} $$

であるから、

$$ a_n=\frac13+2\left(\frac13-\frac{1}{n+2}\right) =1-\frac{2}{n+2} =\frac{n}{n+2} $$

を得る。

**(4)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n)^n$ を求める。

（3） より

$$ a_n=\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1+\frac{2}{n}} $$

であるから、

$$ (a_n)^n=\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-n} $$

となる。ここで基本極限

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x $$

を用いれば、

$$ \lim_{n\to\infty}(a_n)^n =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-n} =e^{-2} $$

である。

解説

この問題の要点は、与えられた三項間漸化式をそのまま解こうとしないことである。係数をよく見ると、$a_{n+1}-a_n$ と $a_n-a_{n-1}$ を導入したときに $a_n$ の項がちょうど消えるようになっている。

その結果、$b_n$ は一次の漸化式

$$ b_n=\frac{n+1}{n+3}b_{n-1} $$

を満たし、積の形で簡単に求まる。さらに $b_n$ が

$$ \frac{2}{(n+2)(n+3)} $$

の形まで落ちれば、部分分数分解によって和が望ましく消去し、$a_n$ が明快に求まる。差を導入して次数を下げるのが典型的な処理である。

答え

**(1)**

$$ b_n=\frac{n+1}{n+3}b_{n-1}\qquad (n\geqq 2) $$

**(2)**

$$ b_n=\frac{12}{(n+2)(n+3)},b_1 $$

**(3)**

$a_1=\dfrac13,\ a_2=\dfrac12$ のとき

$$ a_n=\frac{n}{n+2} $$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}(a_n)^n=e^{-2} $$