解説

方針・初手

与えられた数列は

$$ a_{n+1}=f(a_n),\qquad f(x)=(\sqrt{2})^x $$

で定まっているので，まず関数 $f$ の $0\le x\le 2$ における増減と，その導関数 $f'(x)$ の増減を調べる。

そのうえで，数列については「$0<a_n<2$ が保たれること」を帰納法で示し，さらに

$$ 2-a_{n+1}=f(2)-f(a_n) $$

を平均値の定理で評価すると極限まで一気に処理できる。

解法1

**(1)**

$0\le x\le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$f(x)=(\sqrt{2})^x$ であるから，

$$ f'(x)=(\log \sqrt{2})(\sqrt{2})^x $$

である。ここで $\log \sqrt{2}>0$ であり，また $(\sqrt{2})^x>0$ であるから，

$$ f'(x)>0 $$

が $0\le x\le 2$ で成り立つ。よって $f(x)$ は $[0,2]$ で単調増加である。

したがって最小値は $x=0$ のとき，最大値は $x=2$ のときにとる。

$$ f(0)=1,\qquad f(2)=(\sqrt{2})^2=2 $$

ゆえに，最小値は $1$，最大値は $2$ である。

**(2)**

$0\le x\le 2$ における $f'(x)$ の最大値と最小値を求める。

すでに

$$ f'(x)=(\log \sqrt{2})(\sqrt{2})^x $$

であるから，さらに微分すると

$$ f''(x)=(\log \sqrt{2})^2(\sqrt{2})^x>0 $$

となる。したがって $f'(x)$ は $[0,2]$ で単調増加である。

よって最小値は $x=0$，最大値は $x=2$ でとる。

$$ f'(0)=\log \sqrt{2}=\frac{1}{2}\log 2 $$

$$ f'(2)=2\log \sqrt{2}=\log 2 $$

ゆえに，最小値は $\dfrac{1}{2}\log 2$，最大値は $\log 2$ である。

**(3)**

$0<a_n<2\ (n=1,2,3,\dots)$ が成立することを数学的帰納法で示す。

まず $n=1$ のとき，

$$ a_1=\sqrt{2} $$

であるから，確かに

$$ 0<a_1<2 $$

が成り立つ。

次に，ある $n$ で

$$ 0<a_n<2 $$

が成り立つと仮定する。このとき

$$ a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n} $$

であるから，指数関数の値は常に正であることより

$$ a_{n+1}>0 $$

である。

また （1） で $f(x)=(\sqrt{2})^x$ は $[0,2]$ で単調増加であるから，$a_n<2$ より

$$ a_{n+1}=f(a_n)<f(2)=2 $$

となる。したがって

$$ 0<a_{n+1}<2 $$

が成り立つ。

以上より，数学的帰納法によって

$$ 0<a_n<2\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

が示された。

**(4)**

$$ 0<2-a_{n+1}<(\log 2)(2-a_n)\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

を示す。

（3） より $0<a_n<2$ であるから，$a_{n+1}<2$ であり，

$$ 0<2-a_{n+1} $$

が成り立つ。

次に，$f(x)=(\sqrt{2})^x$ に対して平均値の定理を区間 $[a_n,2]$ に適用する。すると，ある $c_n$ が

$$ a_n<c_n<2 $$

を満たして

$$ f(2)-f(a_n)=f'(c_n)(2-a_n) $$

となる。

ここで $f(2)=2,\ f(a_n)=a_{n+1}$ であるから，

$$ 2-a_{n+1}=f'(c_n)(2-a_n) $$

を得る。

さらに （2） で $f'(x)$ は $[0,2]$ で単調増加し，最大値は $\log 2$ である。しかも $c_n<2$ であるから，

$$ f'(c_n)<\log 2 $$

である。よって

$$ 2-a_{n+1}=f'(c_n)(2-a_n)<(\log 2)(2-a_n) $$

となる。

以上より，

$$ 0<2-a_{n+1}<(\log 2)(2-a_n) $$

が示された。

**(5)**

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ を求める。

$b_n=2-a_n$ とおくと，（4） より

$$ 0<b_{n+1}<(\log 2)b_n $$

が成り立つ。

ここで $0<\log 2<1$ であるから，これを繰り返し用いると

$$ 0<b_n<(\log 2)^{,n-1}b_1 $$

となる。右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するので，はさみうちの原理より

$$ b_n\to 0 $$

である。

したがって

$$ 2-a_n\to 0 $$

より，

$$ a_n\to 2 $$

である。

解説

この問題の要点は，数列そのものを直接追うのではなく，まず対応する関数

$$ f(x)=(\sqrt{2})^x $$

の性質を見ることである。

特に重要なのは次の2点である。

まず，$0\le x\le 2$ で $f$ が増加するため，$a_n$ が一度区間 $(0,2)$ に入ると，その後もずっと $(0,2)$ にとどまることが分かる。これが （3） の帰納法の核心である。

次に，極限を求めるためには $a_n$ 自体ではなく「$2$ との差」

$$ 2-a_n $$

に注目するのが自然である。平均値の定理を使うと，この差が毎回およそ $\log 2$ 倍以下に縮むことが分かる。しかも $\log 2<1$ なので，差は $0$ に収束し，したがって $a_n$ は $2$ に収束する。

答え

**(1)**

最小値は $1$，最大値は $2$ である。

**(2)**

最小値は

$$ \frac{1}{2}\log 2 $$

最大値は

$$ \log 2 $$

である。

**(3)**

$$ 0<a_n<2\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

が成り立つ。

**(4)**

$$ 0<2-a_{n+1}<(\log 2)(2-a_n)\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

が成り立つ。

**(5)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=2 $$

である。