解説

方針・初手

まず (S_2(n)) は，第1項 (a_1) を固定して数え上げるとすぐに求まる。

つぎに (S_3(2n+1)-S_3(2n)) は，「上限が (2n) から (2n+1) に増えたことで新たに加わる数列」を数えればよい。これは第3項が (2n+1) であるものに限られる。

最後に (S_3(n)) は，第3項を固定すると (S_2) の和に帰着するので，その形から極限を求める。

解法1

**(1)**

(S_2(n)) は，(1\le a_1,a_2\le n) で

$$ 2a_1\le a_2 $$

を満たす組 ((a_1,a_2)) の個数である。

(a_1=r) と固定すると，(a_2) は

$$ 2r,,2r+1,,\dots,,n $$

の (n-2r+1) 個である。ただしこれは (2r\le n) のとき，すなわち

$$ 1\le r\le \left\lfloor \frac n2\right\rfloor $$

で成り立つ。

したがって

$$ S_2(n)=\sum_{r=1}^{\lfloor n/2\rfloor}(n-2r+1) $$

である。ここで (q=\left\lfloor \dfrac n2\right\rfloor) とおくと，

$$ \begin{aligned} S_2(n) &=\sum_{r=1}^{q}(n+1-2r) \\ &=q(n+1)-2\cdot \frac{q(q+1)}2 \\ &=q(n-q) \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ S_2(2q)=q^2,\qquad S_2(2q+1)=q(q+1) $$

であり，まとめると

$$ S_2(n)=\left\lfloor \frac{n^2}{4}\right\rfloor $$

である。

**(2)**

(S_3(2n+1)-S_3(2n)) は，(1\le a_1,a_2,a_3\le 2n+1) で

$$ 2a_1\le a_2,\qquad 2a_2\le a_3 $$

を満たす3項数列のうち，第3項が (2n+1) であるものの個数に等しい。

実際，第3項が (2n) 以下のものはすでに (S_3(2n)) に含まれているからである。

そこで (a_3=2n+1) とすると，

$$ 2a_2\le 2n+1 $$

より (a_2\le n) である。したがって，この差は

$$ 1\le a_1,a_2\le n,\qquad 2a_1\le a_2 $$

を満たす組 ((a_1,a_2)) の個数に等しい。これはまさに (S_2(n)) である。

よって

$$ S_3(2n+1)-S_3(2n)=S_2(n) $$

となる。

したがって，求める自然数は (n) である。

**(3)**

(r\ge 1) に対し，(S_3(r)-S_3(r-1)) を考える。これは第3項がちょうど (r) である3項数列の個数である。

第3項を (a_3=r) とすると，

$$ 2a_2\le r $$

より

$$ 1\le a_2\le \left\lfloor \frac r2\right\rfloor $$

であり，さらに (2a_1\le a_2) を満たせばよい。したがって

$$ S_3(r)-S_3(r-1)=S_2!\left(\left\lfloor \frac r2\right\rfloor\right) $$

である。

これを (r=1) から (n) まで足すと，

$$ S_3(n)=\sum_{r=1}^{n} S_2!\left(\left\lfloor \frac r2\right\rfloor\right) $$

となる。

ここで (m=\left\lfloor \dfrac n2\right\rfloor) とすると，

$$ 2\sum_{k=1}^{m-1}S_2(k)\le S_3(n)\le 2\sum_{k=1}^{m}S_2(k) $$

が成り立つ。

（1） より

$$ S_2(k)=\left\lfloor \frac{k^2}{4}\right\rfloor $$

であるから，

$$ \frac{k^2}{4}-1<S_2(k)\le \frac{k^2}{4} $$

が成り立つ。したがって

$$ 2\sum_{k=1}^{m-1}\left(\frac{k^2}{4}-1\right) < S_3(n) \le 2\sum_{k=1}^{m}\frac{k^2}{4} $$

である。

ゆえに

$$ \frac{1}{2n^3}\sum_{k=1}^{m-1}k^2-\frac{2(m-1)}{n^3} < \frac{S_3(n)}{n^3} \le \frac{1}{2n^3}\sum_{k=1}^{m}k^2 $$

となる。ここで

$$ \sum_{k=1}^{m}k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} $$

であり，(m/n\to 1/2) だから，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2n^3}\sum_{k=1}^{m}k^2 &= \frac{m(m+1)(2m+1)}{12n^3} \to \frac{1}{48} \end{aligned} $$

である。下側も同様に (\dfrac{1}{48}) に収束するので，はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{S_3(n)}{n^3}=\frac{1}{48} $$

である。

解説

この問題の要点は，「最後の項を固定して前の項を数える」と (S_3) が (S_2) に帰着することである。

（2） では差をとることで，第3項が新しく (2n+1) になったものだけを数えればよくなり，一気に (S_2(n)) になる。

（3） でも同じ発想で，(S_3(n)-S_3(n-1)) を (S_2\bigl(\lfloor n/2\rfloor\bigr)) とみるのが本質である。3項数列を直接数えようとすると煩雑になるが，1段階ずつ増やして考えると整理しやすい。

答え

**(1)**

$$ S_2(n)=\left\lfloor \frac{n^2}{4}\right\rfloor $$

すなわち

$$ S_2(2q)=q^2,\qquad S_2(2q+1)=q(q+1) $$

である。

**(2)**

$$ S_3(2n+1)-S_3(2n)=S_2(n) $$

であるから，求める自然数は (n) である。

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{S_3(n)}{n^3}=\frac{1}{48} $$