解説

方針・初手

$n$ 乗根の極限では，和の中でどちらの項が支配的になるかを見るのが基本である。

この式では $1+a^n$ の挙動が $a$ の大小によって変わるので，$0<a<1$，$a=1$，$a>1$ に場合分けして評価する。

解法1

$$ L=\lim_{n\to\infty}(1+a^n)^{1/n} $$

を求める。

**(i)**

$0<a<1$ のとき

このとき $a^n\to 0$ であるから，十分大きい $n$ に対して

$$ 1<1+a^n<2 $$

が成り立つ。よって

$$ 1<(1+a^n)^{1/n}<2^{1/n} $$

となる。

ここで $2^{1/n}\to 1$ であるから，はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}(1+a^n)^{1/n}=1 $$

である。

**(ii)**

$a=1$ のとき

$$ (1+a^n)^{1/n}=(1+1^n)^{1/n}=2^{1/n} $$

であるから，

$$ \lim_{n\to\infty}(1+a^n)^{1/n}=1 $$

である。

**(iii)**

$a>1$ のとき

このとき $a^n>1$ であるから

$$ a^n<1+a^n<2a^n $$

が成り立つ。したがって

$$ a<(1+a^n)^{1/n}<2^{1/n}a $$

となる。

ここで $2^{1/n}\to 1$ であるから，はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}(1+a^n)^{1/n}=a $$

である。

以上より，

$$ \lim_{n\to\infty}(1+a^n)^{1/n} = \begin{cases} 1 & (0<a\le 1),\\ a & (a>1). \end{cases} $$

解説

この問題の要点は，$n$ 乗根をとると定数倍の影響が消えることである。実際，$c>0$ を定数とすると $c^{1/n}\to 1$ である。

そのため，$1+a^n$ のうち支配的な項だけを見ればよい。$0<a<1$ では $a^n\to 0$ なので全体は $1$ に近くなり，$a>1$ では $a^n$ が支配的になるので全体は $a^n$ の $n$ 乗根である $a$ に近づく。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}(1+a^n)^{1/n} = \begin{cases} 1 & (0<a\le 1),\\ a & (a>1) \end{cases} = \max\{1,a\}. $$