解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n} $$

は、極限値の候補である $4$ のまわりで整理すると扱いやすい。

実際、

$$ a_{n+1}-4=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}-4 =\frac{a_n^2-8a_n+16}{2a_n} =\frac{(a_n-4)^2}{2a_n} $$

となる。

また、隣り合う項の差は

$$ a_{n+1}-a_n=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}-a_n =\frac{16-a_n^2}{2a_n} =-\frac{(a_n-4)(a_n+4)}{2a_n} $$

と変形できる。

この2つの式を用いて、（1） では $a_n>4$ を帰納的に示し、（2） では減少性を示す。さらに （3） では $a_n-4$ に関する不等式を導く。

解法1

（1） すべての自然数 $n$ に対して $a_n>4$ を示す。

$a_1=5>4$ である。

いま、ある自然数 $n$ について $a_n>4$ が成り立つと仮定する。このとき

$$ a_{n+1}-4=\frac{(a_n-4)^2}{2a_n} $$

である。

仮定より $a_n>4$ だから $2a_n>0$ であり、また $a_n-4\neq 0$ なので $(a_n-4)^2>0$ である。したがって

$$ a_{n+1}-4>0 $$

すなわち

$$ a_{n+1}>4 $$

が成り立つ。

よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n>4 $$

である。

（2） すべての自然数 $n$ に対して $a_{n+1}<a_n$ を示す。

（1） より、すべての自然数 $n$ について $a_n>4$ である。したがって

$$ a_n-4>0,\qquad a_n+4>0,\qquad 2a_n>0 $$

であるから、

$$ a_{n+1}-a_n =-\frac{(a_n-4)(a_n+4)}{2a_n}<0 $$

となる。

ゆえに

$$ a_{n+1}<a_n $$

がすべての自然数 $n$ に対して成り立つ。

（3） すべての自然数 $n$ に対して $a_n-4\leqq \dfrac{1}{2^{n-1}}$ を示す。

（1） と （2） より、数列 ${a_n}$ は $a_1=5$ から単調減少し、しかも常に $4$ より大きい。よって

$$ 4<a_n\leqq 5 $$

であり、

$$ 0<a_n-4\leqq 1 $$

が成り立つ。

ここで先ほどの式

$$ a_{n+1}-4=\frac{(a_n-4)^2}{2a_n} $$

を用いる。$a_n>4$ より $2a_n\geqq 8$ であるから

$$ a_{n+1}-4\leqq \frac{(a_n-4)^2}{8} $$

となる。

さらに $0<a_n-4\leqq 1$ であるから $(a_n-4)^2\leqq a_n-4$ であり、

$$ a_{n+1}-4\leqq \frac{a_n-4}{8}\leqq \frac{a_n-4}{2} $$

が成り立つ。

したがって

$$ a_n-4\leqq \frac{a_{n-1}-4}{2}\leqq \frac{a_{n-2}-4}{2^2}\leqq \cdots \leqq \frac{a_1-4}{2^{n-1}} $$

となる。ここで $a_1-4=1$ なので

$$ a_n-4\leqq \frac{1}{2^{n-1}} $$

を得る。

以上より、求める不等式が示された。

解説

この問題の要点は、漸化式をそのまま扱うのではなく、極限値の候補である $4$ を引いた形に直すことである。

実際、

$$ a_{n+1}-4=\frac{(a_n-4)^2}{2a_n} $$

という形になるため、$a_n$ が $4$ より大きいかどうかが直ちに判断できる。また、

$$ a_{n+1}-a_n=-\frac{(a_n-4)(a_n+4)}{2a_n} $$

と変形すれば、減少性も一目で分かる。

（3） では、単に $a_n-4$ の式を作るだけでは足りず、（2） によって $a_n\leqq 5$ を押さえて $0<a_n-4\leqq 1$ を得ることが重要である。これにより $(a_n-4)^2\leqq a_n-4$ が使えるようになり、等比的な評価に持ち込める。

答え

**(1)**

すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n>4 $$

である。

**(2)**

すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_{n+1}<a_n $$

である。

**(3)**

すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n-4\leqq \frac{1}{2^{n-1}} $$

である。