解説

方針・初手

各段階で起こっている変化を整理する。

1本の辺は，次の段階で長さが $1/3$ の辺4本に置き換わる。したがって辺の数は毎回4倍になる。

また，$n$ 回目に新たに付け加わる正三角形は，$A_{n-1}$ の各辺に1つずつできるので，その個数は $A_{n-1}$ の辺の数に等しい。1個あたりの面積は，もとの正三角形 $A_0$ に対して相似比 $1/3^n$ であるから，面積比は $1/9^n$ になる。

解法1

（1） 図形 $A_n$ の辺の数

$A_n$ の辺の数を $b_n$ とする。

最初の図形 $A_0$ は正三角形であるから，

$$ b_0=3 $$

である。

1本の辺は次の段階で4本の辺に分かれるので，

$$ b_n=4b_{n-1} $$

が成り立つ。よって，

$$ b_n=3\cdot 4^n $$

である。

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**(2)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n$

$A_n$ の面積を $S_n$ とする。最初は

$$ S_0=1 $$

である。

$n$ 回目に新たに付け加わる正三角形の個数は，$A_{n-1}$ の辺の数に等しいから，

$$ 3\cdot 4^{n-1} $$

個である。

次に，その1個の面積を求める。$A_0$ の1辺の長さを $a$ とすると，$A_0$ の面積は1である。$n$ 回目に付け加える正三角形の1辺の長さは

$$ \frac{a}{3^n} $$

であるから，その面積は $A_0$ の面積の $\dfrac{1}{9^n}$ 倍である。したがって1個の面積は

$$ \frac{1}{9^n} $$

である。

よって，$n$ 回目に増える面積は

$$ 3\cdot 4^{n-1}\cdot \frac{1}{9^n} =\frac{1}{3}\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} $$

となる。

したがって，

$$ S_n =1+\sum_{k=1}^n \frac{1}{3}\left(\frac{4}{9}\right)^{k-1} $$

である。これは等比数列の和であるから，

$$ \begin{aligned} S_n &=1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\left(\frac49\right)^n}{1-\frac49} \\ &=1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\left(\frac49\right)^n}{\frac59} \\ &=1+\frac35\left(1-\left(\frac49\right)^n\right) \\ &=\frac85-\frac35\left(\frac49\right)^n \end{aligned} $$

となる。

ここで $\left|\dfrac49\right|<1$ だから，

$$ \left(\frac49\right)^n \to 0 \qquad (n\to\infty) $$

より，

$$ \lim_{n\to\infty} S_n=\frac85 $$

である。

解説

この問題の要点は，図形の複雑な見た目に惑わされず，

• 辺の数は毎回4倍になること
• 付け加わる正三角形の個数と1個あたりの面積を分けて考えること

の2点を押さえることである。

特に面積では，「個数」は $4$ を底とする等比，「1個の面積」は $9$ を底とする等比になるので，増加分全体は比 $\dfrac49$ の等比数列になる。ここまで整理できれば極限はすぐ求まる。

答え

**(1)**

図形 $A_n$ の辺の数は

$$ 3\cdot 4^n $$

である。

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty} S_n=\frac85 $$

である。