解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_{n+1}$ が分母にも現れており、そのままでは扱いにくい。そこで $a_n$ の逆数をとると、一次の漸化式に直せることに着目する。

解法1

与えられた関係式

$$ \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}=\frac{a_n}{1+4na_n} $$

を整理する。

両辺を交差に掛けると、

$$ a_{n+1}(1+4na_n)=a_n(a_{n+1}+1) $$

となるので、

$$ a_{n+1}+4na_na_{n+1}=a_na_{n+1}+a_n $$

$$ a_{n+1}{1+(4n-1)a_n}=a_n $$

したがって、

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(4n-1)a_n} $$

である。

ここで

$$ b_n=\frac{1}{a_n} $$

とおくと、

$$ b_{n+1} =\frac{1}{a_{n+1}} =\frac{1+(4n-1)a_n}{a_n} =\frac{1}{a_n}+(4n-1) =b_n+(4n-1) $$

となる。

また、$a_1=1$ より

$$ b_1=\frac{1}{a_1}=1 $$

である。よって ${b_n}$ は

$$ b_{n+1}-b_n=4n-1 $$

をみたすから、

$$ b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(4k-1) $$

$$ =1+\left(4\sum_{k=1}^{n-1}k\right)-(n-1) $$

$$ =1+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}-(n-1) $$

$$ =1+2n(n-1)-(n-1) $$

$$ =1+(n-1)(2n-1) $$

$$ =2n^2-3n+2 $$

したがって、

$$ a_n=\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2n^2-3n+2} $$

である。

次に極限を求める。

$$ n^2a_n =\frac{n^2}{2n^2-3n+2} =\frac{1}{2-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}} $$

ゆえに $n\to\infty$ とすると、

$$ \lim_{n\to\infty} n^2a_n=\frac{1}{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、分数形の漸化式をそのまま追わず、逆数 $b_n=\frac{1}{a_n}$ を導入して一次漸化式に直すことである。$a_{n+1}$ が分母と分子の両方にある形では、逆数をとると差が一定の形に変わることが多く、典型的な処理である。

一般項が求まれば、極限は最高次の項だけを見ればよく、

$$ a_n\sim \frac{1}{2n^2} $$

であることからも $\lim_{n\to\infty}n^2a_n=\frac12$ と分かる。

答え

$$ a_n=\frac{1}{2n^2-3n+2} $$

$$ \lim_{n\to\infty} n^2a_n=\frac{1}{2} $$

したがって、

**(1)**

$\displaystyle \frac{1}{2n^2-3n+2}$

**(2)**

$\displaystyle \frac{1}{2}$