解説

方針・初手

与えられた関係式は $a_{n+1}$ と $S_n$ を結びつけているので、まず $S_n$ の漸化式に直して扱うのが自然である。

ただし $n=2$ では係数 $n(n-2)$ が $0$ になる。ここを先に丁寧に処理することが重要である。

解法1

まず $S_1=a_1=1$ である。

$n=1$ を

$$ n(n-2)a_{n+1}=S_n $$

に代入すると

$$

$$

• a_2=S_1=1

より

$$ a_2=-1 $$

である。

したがって

$$ S_2=a_1+a_2=1+(-1)=0 $$

となる。これは $n=2$ を与式に代入して得られる

$$ 0\cdot a_3=S_2 $$

とも一致する。ここでは $a_3$ はまだ決まらない。

ここから $n\geqq 3$ とする。このとき $n(n-2)\neq 0$ だから、

$$ a_{n+1}=\frac{S_n}{n(n-2)} $$

と書ける。よって

$$ \begin{aligned} S_{n+1} &=S_n+a_{n+1}\\ &=S_n+\frac{S_n}{n(n-2)}\\ &=S_n\left(1+\frac{1}{n(n-2)}\right)\\ &=S_n\cdot \frac{(n-1)^2}{n(n-2)}. \end{aligned} $$

したがって $n\geqq 3$ で

$$ \frac{S_{n+1}}{S_n} =\frac{(n-1)^2}{n(n-2)} =\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-1}{n-2} $$

である。

これを $3,4,\dots,n-1$ について掛け合わせると、

$$ \begin{aligned} S_n &=S_3\prod_{k=3}^{n-1}\frac{(k-1)^2}{k(k-2)}\\ &=S_3\left(\prod_{k=3}^{n-1}\frac{k-1}{k}\right)\left(\prod_{k=3}^{n-1}\frac{k-1}{k-2}\right)\\ &=S_3\cdot \frac{2}{n-1}\cdot (n-2)\\ &=S_3\cdot \frac{2(n-2)}{n-1} \end{aligned} $$

となる。

ここで条件 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=1$ を用いると、

$$ 1=\lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}S_3\cdot \frac{2(n-2)}{n-1} =2S_3 $$

より

$$ S_3=\frac12 $$

である。したがって $n\geqq 3$ で

$$ S_n=\frac{n-2}{n-1} $$

を得る。

よって一般項は $a_n=S_n-S_{n-1}$ から求まる。

まず

$$ a_3=S_3-S_2=\frac12-0=\frac12 $$

である。

さらに $n\geqq 4$ では

$$ \begin{aligned} a_n &=S_n-S_{n-1}\\ &=\frac{n-2}{n-1}-\frac{n-3}{n-2}\\ &=\frac{1}{(n-1)(n-2)}. \end{aligned} $$

この式は $n=3$ に対しても

$$ \frac{1}{(3-1)(3-2)}=\frac12 $$

となるので、$n\geqq 3$ でまとめて

$$ a_n=\frac{1}{(n-1)(n-2)} $$

と書ける。

以上より、

$$ a_1=1,\quad a_2=-1,\quad a_n=\frac{1}{(n-1)(n-2)}\ (n\geqq 3) $$

である。

解説

この問題の要点は、与式から直接 $a_n$ を追うよりも、和 $S_n$ の漸化式に直すことである。

特に $n=2$ では $n(n-2)=0$ となり、ここで $S_2=0$ が出る。この特殊な段階を見落として機械的に割り算をすると誤る。その後は $n\geqq 3$ で $S_{n+1}$ を $S_n$ で表し、積の形にして極限条件 $\lim S_n=1$ を使えば $S_3$ が定まる。

答え

$$ a_1=1,\quad a_2=-1,\quad a_n=\frac{1}{(n-1)(n-2)}\ (n\geqq 3) $$