解説

注意

画像の一部が不鮮明で、特に （2） の $b_k$ の定義は $k+1$ の読取りに不確実性がある。以下は **$b_k=k+1$** と解釈した場合の解答解説である。

方針・初手

$S_n,\ T_n,\ U_n$ はいずれも和の公式で処理する。 （1） は等比数列の和をそのまま用いればよく、極限では主要項だけを比べればよい。 （2） は $U_n=\sum_{k=1}^n (k+1)2^k$ を $\sum k2^k$ と $\sum 2^k$ に分けて求めるのが自然である。

解法1

**(1)**

$a_k=2^k,\ b_k=r^k\ (r>1)$ のとき

まず

$$ S_n=\sum_{k=1}^n (2^k)^2=\sum_{k=1}^n 4^k =\frac{4(4^n-1)}{3} =\frac{4^{n+1}-4}{3} $$

である。

また、

$$ T_n=\sum_{k=1}^n r^{2k} =\frac{r^2(r^{2n}-1)}{r^2-1}, \qquad U_n=\sum_{k=1}^n (2r)^k =\frac{2r{(2r)^n-1}}{2r-1} $$

となるから、

$$ \begin{aligned} \frac{U_n^2}{S_nT_n} &= \frac{\left(\dfrac{2r{(2r)^n-1}}{2r-1}\right)^2} {\left(\dfrac{4^{n+1}-4}{3}\right)\left(\dfrac{r^2(r^{2n}-1)}{r^2-1}\right)} \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{U_n^2}{S_nT_n} &= \frac{3(r^2-1){(2r)^n-1}^2} {(2r-1)^2(4^n-1)(r^{2n}-1)} \end{aligned} $$

よって $n\to\infty$ とすると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{U_n^2}{S_nT_n} &= \frac{3(r^2-1)}{(2r-1)^2} \end{aligned} $$

を得る。

次に、この値の最大を考える。任意の $n$ についてコーシー・シュワルツの不等式より

$$ U_n^2\leqq S_nT_n $$

であるから、

$$ \frac{U_n^2}{S_nT_n}\leqq 1 $$

が成り立つ。したがって極限値も $1$ 以下である。

一方、$r=2$ のときは $a_k=b_k=2^k$ となるので、各 $n$ について

$$ U_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k=\sum_{k=1}^n (2^k)^2=S_n=T_n $$

であり、

$$ \frac{U_n^2}{S_nT_n}=1 $$

となる。したがって最大値は $1$ であり、そのとき $r=2$ である。

**(2)**

$a_k=2^k,\ b_k=k+1$ のとき

まず

$$ T_n=\sum_{k=1}^n (k+1)^2 =\sum_{j=2}^{n+1} j^2 =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-1 =\frac{n(2n^2+9n+13)}{6} $$

である。

次に

$$ U_n=\sum_{k=1}^n (k+1)2^k =\sum_{k=1}^n k2^k+\sum_{k=1}^n 2^k $$

と分ける。

ここで

$$ A_n=\sum_{k=1}^n k2^k $$

とおくと、

$$ 2A_n=\sum_{k=1}^n k2^{k+1} =\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)2^k $$

であるから、

$$ \begin{aligned} A_n-2A_n &= 2+\sum_{k=2}^n{k-(k-1)}2^k-n2^{n+1} \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} -A_n &= 2+\sum_{k=2}^n 2^k-n2^{n+1} \\ 2+(2^{n+1}-4)-n2^{n+1} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ A_n=(n-1)2^{n+1}+2 $$

である。

また、

$$ \sum_{k=1}^n 2^k=2^{n+1}-2 $$

であるから、

$$ U_n=\bigl((n-1)2^{n+1}+2\bigr)+(2^{n+1}-2)=n2^{n+1} $$

を得る。

さらに

$$ S_n=\sum_{k=1}^n 4^k=\frac{4^{n+1}-4}{3} $$

であるので、

$$ \begin{aligned} \frac{U_n^2}{S_nT_n} &= \frac{n^2 4^{n+1}} {\left(\dfrac{4^{n+1}-4}{3}\right)\left(\dfrac{n(2n^2+9n+13)}{6}\right)} &= \frac{18n,4^{n+1}}{(4^{n+1}-4)(2n^2+9n+13)} \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \frac{4^{n+1}}{4^{n+1}-4}\to 1, \qquad \frac{n}{2n^2+9n+13}\to 0 $$

より、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{U_n^2}{S_nT_n}=0 $$

である。

解説

この問題の本質は、内積型の量 $U_n$ と二乗和 $S_n,\ T_n$ をどう扱うかである。 （1） は等比数列の和に落ちるので計算自体は素直であり、最大値についてはコーシー・シュワルツの不等式を見ると一気に決まる。 （2） は $\sum (k+1)2^k$ の処理が要点で、$\sum k2^k$ を差をとって求める形が典型である。極限は厳密式を出したあと、増え方を比較すればよい。

答え

**(1)**

$$ S_n=\frac{4^{n+1}-4}{3} $$

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{U_n^2}{S_nT_n} &= \frac{3(r^2-1)}{(2r-1)^2} \end{aligned} $$

この値は

$$ r=2 $$

のとき最大となり、その最大値は

$$ 1 $$

である。

**(2)**

$$ T_n=\frac{n(2n^2+9n+13)}{6} $$

$$ U_n=n2^{n+1} $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{U_n^2}{S_nT_n}=0 $$