解説

方針・初手

2本の漸化式が同時に与えられているが，まずは $a_n+b_n$ に注目すると，和がどのように変化するかがすぐに分かる。実際，この和が一定になることを示せれば，$b_n=12-a_n$ とおけるので，2本の漸化式を1本に整理できる。

したがって，最初に **和 $a_n+b_n$ を調べる** のが自然である。

解法1

**(1)**

$a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$ を求める。

与えられた条件より，

$$ a_2=\frac34 a_1+\frac12 b_1=\frac34\cdot 12+\frac12\cdot 0=9 $$

$$ b_2=\frac14 a_1+\frac12 b_1=\frac14\cdot 12+\frac12\cdot 0=3 $$

さらに，

$$ a_3=\frac34 a_2+\frac12 b_2=\frac34\cdot 9+\frac12\cdot 3=\frac{27}{4}+\frac{6}{4}=\frac{33}{4} $$

$$ b_3=\frac14 a_2+\frac12 b_2=\frac14\cdot 9+\frac12\cdot 3=\frac{9}{4}+\frac{6}{4}=\frac{15}{4} $$

よって，

$$ a_2=9,\quad b_2=3,\quad a_3=\frac{33}{4},\quad b_3=\frac{15}{4} $$

（2） すべての自然数 $n$ について $a_n+b_n=12$ を証明する。

$a_{n+1},b_{n+1}$ の式を辺々加えると，

$$ \begin{aligned} a_{n+1}+b_{n+1} &=\left(\frac34 a_n+\frac12 b_n\right)+\left(\frac14 a_n+\frac12 b_n\right) \\ &=a_n+b_n \end{aligned} $$

したがって，数列 ${a_n+b_n}$ は一定数列である。

初項は

$$ a_1+b_1=12+0=12 $$

であるから，すべての自然数 $n$ について

$$ a_n+b_n=12 $$

が成り立つ。

**(3)**

${a_n},{b_n}$ の一般項を求める。

（2） より，すべての $n$ で

$$ b_n=12-a_n $$

である。これを $a_{n+1}$ の式に代入すると，

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac34 a_n+\frac12(12-a_n) \\ &=\frac14 a_n+6 \end{aligned} $$

ここで，定数項を消すために

$$ c_n=a_n-8 $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &=a_{n+1}-8 \\ &=\left(\frac14 a_n+6\right)-8 \\ &=\frac14 a_n-2 \\ &=\frac14(a_n-8) \\ &=\frac14 c_n \end{aligned} $$

となる。さらに，

$$ c_1=a_1-8=12-8=4 $$

であるから，${c_n}$ は初項 $4$，公比 $\frac14$ の等比数列であり，

$$ c_n=4\left(\frac14\right)^{n-1} $$

したがって，

$$ a_n=8+4\left(\frac14\right)^{n-1} $$

これを整理すると，

$$ a_n=8+4^{,2-n} $$

また，

$$ b_n=12-a_n $$

より，

$$ b_n=12-\left(8+4^{,2-n}\right)=4-4^{,2-n} $$

よって一般項は

$$ a_n=8+4^{,2-n},\qquad b_n=4-4^{,2-n} $$

である。

**(4)**

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\ \lim\limits_{n\to\infty}b_n$ を求める。

（3） の結果より，

$$ a_n=8+4^{,2-n},\qquad b_n=4-4^{,2-n} $$

であり，

$$ 4^{,2-n}\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

だから，

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=8,\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=4 $$

解説

この問題の要点は，2本の連立型の漸化式をそのまま追いかけるのではなく，まず $a_n+b_n$ という「和」に注目することである。係数を足すと $1$ になるため，和が保存されることが分かる。

和が一定と分かれば $b_n=12-a_n$ と表せるので，もとの問題は $a_n$ だけの一次漸化式に帰着する。さらに，$a_{n+1}=\frac14 a_n+6$ は平衡値 $8$ をもつ形であるから，$a_n-8$ とおけば等比数列になる。この処理は一次漸化式の典型である。

答え

**(1)**

$$ a_2=9,\quad b_2=3,\quad a_3=\frac{33}{4},\quad b_3=\frac{15}{4} $$

**(2)**

すべての自然数 $n$ について

$$ a_n+b_n=12 $$

**(3)**

$$ a_n=8+4^{,2-n},\qquad b_n=4-4^{,2-n} $$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=8,\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=4 $$