解説

方針・初手

まず漸化式から $a_{n+1}-2$ を直接計算し，$a_n>2$ が保たれることを示す。

そのうえで $b_n=\dfrac{1}{a_n-2}$ とおくと，もとの分数式が一次の漸化式に変わる。これを解けば $a_n$ も表せ，極限も直ちに分かる。

解法1

（1） すべての自然数 $n$ に対して $a_n>2$ を示す。

与えられた漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{5a_n-4}{2a_n-1} $$

から，

$$ a_{n+1}-2 =\frac{5a_n-4}{2a_n-1}-2 =\frac{5a_n-4-2(2a_n-1)}{2a_n-1} =\frac{a_n-2}{2a_n-1} $$

となる。

ここで，初項は

$$ a_1=3>2 $$

である。

いま，ある自然数 $n$ で $a_n>2$ と仮定する。すると

$$ a_n-2>0,\qquad 2a_n-1>3>0 $$

であるから，

$$ a_{n+1}-2=\frac{a_n-2}{2a_n-1}>0 $$

となる。よって

$$ a_{n+1}>2 $$

である。

したがって，数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n>2 $$

が成り立つ。

**(2)**

$b_n=\dfrac{1}{a_n-2}$ とおき，数列 ${b_n}$ の一般項を求める。

（1） より $a_n>2$ なので，$a_n-2>0$ であり，$b_n$ はすべての $n$ で定義される。

先ほど求めた

$$ a_{n+1}-2=\frac{a_n-2}{2a_n-1} $$

を用いると，

$$ b_{n+1} =\frac{1}{a_{n+1}-2} =\frac{2a_n-1}{a_n-2} $$

ここで分子を

$$ 2a_n-1=2(a_n-2)+3 $$

と変形すれば，

$$ b_{n+1} =\frac{2(a_n-2)+3}{a_n-2} =2+\frac{3}{a_n-2} =2+3b_n $$

となる。したがって ${b_n}$ は

$$ b_{n+1}=3b_n+2 $$

を満たす。

また，

$$ b_1=\frac{1}{a_1-2}=\frac{1}{3-2}=1 $$

である。

ここで

$$ c_n=b_n+1 $$

とおくと，

$$ c_{n+1}=b_{n+1}+1=3b_n+2+1=3(b_n+1)=3c_n $$

となる。さらに

$$ c_1=b_1+1=2 $$

であるから，

$$ c_n=2\cdot 3^{n-1} $$

よって

$$ b_n=c_n-1=2\cdot 3^{n-1}-1 $$

である。

（3） 極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ を求める。

$b_n=\dfrac{1}{a_n-2}$ であるから，

$$ a_n-2=\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1} $$

したがって

$$ a_n=2+\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1} $$

となる。

ここで $n\to\infty$ のとき

$$ 2\cdot 3^{n-1}-1\to\infty $$

なので，

$$ \frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}\to 0 $$

である。よって

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=2 $$

となる。

解説

この問題の要点は，分数型の漸化式をそのまま追わず，まず

$$ a_{n+1}-2 $$

を計算することである。すると「$2$ との差」が簡単な形に整理され，$a_n>2$ の証明が帰納法で処理できる。

さらに $b_n=\dfrac{1}{a_n-2}$ とおくと，非線形の漸化式が一次の漸化式

$$ b_{n+1}=3b_n+2 $$

に変わる。分母に $a_n-2$ が現れているときは，その逆数を置く発想が典型である。

答え

$$ \text{（1） }; \text{すべての自然数 }n\text{ に対して }a_n>2 $$

$$ \text{（2） }; b_n=2\cdot 3^{n-1}-1 $$

$$ \text{（3） }; \lim_{n\to\infty}a_n=2 $$