解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n} $$

は、$\sqrt{6}$ を基準に見ると扱いやすい。実際に $a_{n+1}-\sqrt{6}$ を計算すると平方の形に整理できるので、まずそれを用いて $a_n>\sqrt{6}$ を示す。その後、$a_{n+1}-a_n$ の符号を調べれば単調性が分かり、収束判定と極限値の決定まで一気に進められる。

解法1

（1） まず $a_n>0$ であることに注意する。実際、$a_1=3>0$ であり、$a_n>0$ なら

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}>0 $$

であるから、すべての $n$ で $a_n>0$ である。

ここで

$$ a_{n+1}-\sqrt{6} =\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}-\sqrt{6} =\frac{a_n^2-2\sqrt{6},a_n+6}{2a_n} =\frac{(a_n-\sqrt{6})^2}{2a_n} $$

となる。

$a_1=3>\sqrt{6}$ である。いま $a_n>\sqrt{6}$ と仮定すると、$a_n>0$ より

$$ a_{n+1}-\sqrt{6} =\frac{(a_n-\sqrt{6})^2}{2a_n}>0 $$

であるから $a_{n+1}>\sqrt{6}$ となる。

よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n>\sqrt{6} $$

が成り立つ。

（2） 上で得た式

$$ a_{n+1}-\sqrt{6}=\frac{(a_n-\sqrt{6})^2}{2a_n} $$

を用いる。(1)より $a_n>\sqrt{6}>2$ であるから

$$ 2a_n>4 $$

すなわち

$$ \frac{1}{2a_n}<\frac{1}{4} $$

である。したがって

$$ a_{n+1}-\sqrt{6} =\frac{(a_n-\sqrt{6})^2}{2a_n} <\frac{1}{4}(a_n-\sqrt{6})^2 $$

となり、示すべき不等式が証明された。

（3） 数列の収束・発散を調べるため、差を計算する。

$$ a_{n+1}-a_n =\left(\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}\right)-a_n =-\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n} =\frac{6-a_n^2}{2a_n} $$

(1)より $a_n>\sqrt{6}$ なので $a_n^2>6$ である。したがって

$$ a_{n+1}-a_n<0 $$

となり、${a_n}$ は単調減少である。

また (1)より、すべての $n$ で

$$ a_n>\sqrt{6} $$

であるから、${a_n}$ は下に有界である。

よって ${a_n}$ は単調減少かつ下に有界であるから収束する。

その極限を $\alpha$ とおくと、$\alpha>0$ であり、漸化式の両辺の極限をとって

$$ \alpha=\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{\alpha} $$

を得る。これを整理すると

$$ 2\alpha^2=\alpha^2+6 $$

すなわち

$$ \alpha^2=6 $$

となる。しかも $a_n>\sqrt{6}>0$ であるから $\alpha>0$ であり、

$$ \alpha=\sqrt{6} $$

である。

したがって、数列 ${a_n}$ は $\sqrt{6}$ に収束する。

解説

この問題の要点は、漸化式をそのまま眺めるのではなく、$\sqrt{6}$ との差を見ることである。

$$ a_{n+1}-\sqrt{6}=\frac{(a_n-\sqrt{6})^2}{2a_n} $$

と変形できるため、$\sqrt{6}$ がこの数列の平衡点であること、しかもそこからのずれが二乗で小さくなることが分かる。(2)の不等式は、$\sqrt{6}$ にかなり速く近づくことを表している。

収束判定自体は、(1)で下界 $\sqrt{6}$ を得たあとに $a_{n+1}-a_n$ の符号を調べるのが最も素直である。

答え

**(1)**

すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n>\sqrt{6} $$

である。

**(2)**

すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_{n+1}-\sqrt{6}<\frac{1}{4}(a_n-\sqrt{6})^2 $$

である。

**(3)**

数列 ${a_n}$ は収束し、その極限は

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{6} $$

である。