解説

方針・初手

点 $P_n$ は常に線分 $AB$ 上にあるので、$AB$ を $1$ つの媒介変数で表して漸化式に直すのが自然である。

$A(2,0),\ B(1,\sqrt3)$ であるから、ある $t_n\ (0<t_n<1)$ を用いて

$$ P_n=(2-t_n,\sqrt3,t_n) $$

と表せる。あとは、$P_n\to Q_n\to R_n\to P_{n+1}$ という垂線の操作を座標で追い、$t_n$ の漸化式を求めればよい。

解法1

まず、$OB$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{OB}=(1,\sqrt3) $$

である。したがって、$P_n$ を直線 $OB$ に正射影した点 $Q_n$ は、内積を用いて

$$ Q_n=\frac{P_n\cdot \overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OB}}\overrightarrow{OB} $$

と書ける。

ここで

$$ P_n\cdot \overrightarrow{OB} =(2-t_n,\sqrt3,t_n)\cdot(1,\sqrt3) =2-t_n+3t_n =2+2t_n $$

また

$$ \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OB} =1+3=4 $$

であるから、

$$ Q_n=\frac{2+2t_n}{4}(1,\sqrt3) =\left(\frac{1+t_n}{2},\frac{\sqrt3(1+t_n)}{2}\right) $$

となる。

次に、$OA$ は $x$ 軸そのものであるから、$Q_n$ から $OA$ に下ろした垂線の足 $R_n$ は

$$ R_n=\left(\frac{1+t_n}{2},0\right) $$

である。

さらに、$R_n$ を直線 $AB$ に正射影した点が $P_{n+1}$ である。 $AB$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{AB}=(-1,\sqrt3) $$

であるから、$P_{n+1}$ は

$$ P_{n+1} =A+\frac{(R_n-A)\cdot \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AB} $$

と表せる。

ここで

$$ R_n-A =\left(\frac{1+t_n}{2}-2,0\right) =\left(\frac{t_n-3}{2},0\right) $$

より、

$$ (R_n-A)\cdot \overrightarrow{AB} =\left(\frac{t_n-3}{2},0\right)\cdot(-1,\sqrt3) =\frac{3-t_n}{2} $$

また

$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB} =1+3=4 $$

であるから、

$$ P_{n+1} =A+\frac{3-t_n}{8}\overrightarrow{AB} $$

となる。したがって、$P_{n+1}$ を

$$ P_{n+1}=(2-t_{n+1},\sqrt3,t_{n+1}) $$

と書けば、

$$ t_{n+1}=\frac{3-t_n}{8} $$

を得る。

よって、

$$ t_{n+1}-\frac13 =\frac{3-t_n}{8}-\frac13 =-\frac18\left(t_n-\frac13\right) $$

である。したがって、

$$ t_n-\frac13 =\left(-\frac18\right)^{n-1}\left(t_1-\frac13\right) $$

となり、$n\to\infty$ で

$$ t_n\to \frac13 $$

である。

ゆえに、

$$ P_n=(2-t_n,\sqrt3,t_n)\to \left(2-\frac13,\sqrt3\cdot\frac13\right) =\left(\frac53,\frac{\sqrt3}{3}\right) $$

となる。

解説

この問題の本質は、点 $P_n$ を線分 $AB$ 上の位置パラメータ $t_n$ で表し、3 回の正射影を 1 本の一次漸化式に落とすことである。

$O,\ A,\ B$ は正三角形をなしているので図形的に処理したくなるが、極限を確実に出すには座標化して

$$ t_{n+1}=\frac{3-t_n}{8} $$

を得るのが最も安定である。 特に

$$ t_{n+1}-\frac13=-\frac18\left(t_n-\frac13\right) $$

まで変形できれば、公比の絶対値が $\frac18<1$ であるから収束は直ちに分かる。

答え

点 $P_n$ が限りなく近づく点の座標は

$$ \left(\frac53,\frac{\sqrt3}{3}\right) $$

である。