解説

方針・初手

まず、漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n^2+b) $$

が区間 $[0,1]$ を保つことを示す。

次に、$c=1-\sqrt{1-b}$ が

$$ c^2+b=2c $$

を満たすことに着目して、$a_{n+1}-c$ を因数分解する。

最後に、その式から $|a_n-c|$ が等比的に $0$ に近づくことを示せばよい。

解法1

まず

$$ c=1-\sqrt{1-b} $$

より、$0\le b<1$ だから $0\le \sqrt{1-b}\le 1$ であり、

$$ 0\le c<1 $$

が成り立つ。

また

$$ 1-c=\sqrt{1-b} $$

であるから、両辺を2乗して

$$ (1-c)^2=1-b $$

すなわち

$$ 1-2c+c^2=1-b $$

となる。よって

$$ c^2+b=2c $$

を得る。

（1） $0\le a_n\le 1$ を示す

数学的帰納法で示す。

初項については、条件より

$$ 0\le a_1=a\le 1 $$

である。

次に、ある $n$ で

$$ 0\le a_n\le 1 $$

と仮定する。このとき

$$ 0\le a_n^2\le 1 $$

であり、さらに $0\le b<1$ だから

$$ 0\le a_n^2+b<2 $$

となる。したがって

$$ 0\le a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n^2+b)<1 $$

である。特に

$$ 0\le a_{n+1}\le 1 $$

が成り立つ。

以上より、すべての自然数 $n$ に対して

$$ 0\le a_n\le 1 $$

である。

（2） $a_{n+1}-c=\dfrac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$ を示す

漸化式より

$$ a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n^2+b)-c $$

である。ここで先に示した

$$ c^2+b=2c $$

を用いると

$$ b-2c=-c^2 $$

だから、

$$ a_{n+1}-c =\frac{1}{2}(a_n^2+b-2c) =\frac{1}{2}(a_n^2-c^2) $$

となる。よって

$$ a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c) $$

が成り立つ。

（3） $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$ を示す

（2） より

$$ a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c) $$

であるから、絶対値をとると

$$ |a_{n+1}-c| =\frac{1}{2}(a_n+c)|a_n-c| $$

となる。

ここで （1） と $0\le c<1$ より

$$ 0\le a_n\le 1 $$

だから

$$ 0\le \frac{a_n+c}{2}\le \frac{1+c}{2}<1 $$

である。したがって

$$ |a_{n+1}-c| \le \frac{1+c}{2}|a_n-c| $$

を得る。

これを繰り返すと

$$ |a_n-c| \le \left(\frac{1+c}{2}\right)^{n-1}|a_1-c| $$

となる。

ところが

$$ 0\le \frac{1+c}{2}<1 $$

であるから、

$$ \left(\frac{1+c}{2}\right)^{n-1}\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

である。よって

$$ |a_n-c|\to 0 $$

すなわち

$$ a_n\to c $$

である。

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=c $$

が成り立つ。

解説

この問題の要点は、不動点に注目することである。極限値 $L$ が存在するとすれば

$$ L=\frac{1}{2}(L^2+b) $$

を満たすはずであり、これは

$$ L^2-2L+b=0 $$

と変形できる。その解の一つが

$$ c=1-\sqrt{1-b} $$

である。

（2） の式変形は、この不動点 $c$ を用いて $a_{n+1}-c$ を因数分解したものであり、（3） ではそれが縮小写像の形

$$ |a_{n+1}-c|\le r|a_n-c| \qquad \left(0\le r<1\right) $$

になっていることを見抜くのが重要である。

答え

**(1)**

すべての自然数 $n$ に対して

$$ 0\le a_n\le 1 $$

である。

**(2)**

$$ a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c) $$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=c=1-\sqrt{1-b} $$

である。