解説

方針・初手

$a_n,\ b_n$ を別々に追うよりも，$b_n-2a_n$ と $b_n-5a_n$ という一次結合に注目すると，それぞれ簡単な漸化式になる。これを用いて $a_n,\ b_n$ を求める。

解法1

$$ p_n=b_n-2a_n,\qquad q_n=b_n-5a_n $$

とおく。

まず $p_n$ について計算すると，

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &=b_{n+1}-2a_{n+1}\\ &=\left(5a_n-\frac{3}{2}b_n\right)-2\left(2a_n-\frac{1}{2}b_n\right)\\ &=a_n-\frac{1}{2}b_n\\ &=-\frac{1}{2}(b_n-2a_n)\\ &=-\frac{1}{2}p_n \end{aligned} $$

となる。

次に $q_n$ については，

$$ \begin{aligned} q_{n+1} &=b_{n+1}-5a_{n+1}\\ &=\left(5a_n-\frac{3}{2}b_n\right)-5\left(2a_n-\frac{1}{2}b_n\right)\\ &=b_n-5a_n\\ &=q_n \end{aligned} $$

となる。

初項は

$$ p_1=b_1-2a_1=8-10=-2,\qquad q_1=b_1-5a_1=8-25=-17 $$

であるから，

$$ p_n=-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1},\qquad q_n=-17 $$

である。

したがって

$$ b_n-2a_n=-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1},\qquad b_n-5a_n=-17 $$

を満たす。両式の差をとると，

$$ 3a_n=17-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

よって

$$ a_n=\frac{17-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{3} $$

また

$$ b_n=5a_n-17 =\frac{34-10\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{3} $$

となる。

ここで $\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\to 0$ であるから，

$$ \alpha=\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{17}{3},\qquad \beta=\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{34}{3} $$

したがって

$$ \alpha+\beta=\frac{17}{3}+\frac{34}{3}=17 $$

である。

解説

この問題の要点は，もとの2本の漸化式をそのまま解こうとせず，適切な一次結合を見つけることである。

$b_n-2a_n$ は公比 $-\frac12$ の等比数列になり，$b_n-5a_n$ は一定となる。これにより $a_n,\ b_n$ がただちに決まり，極限も容易に求まる。

答え

$$ 17 $$