解説

方針・初手

まず

$$ x_{i+1}-x_i=\frac{x_i^2+1}{2}-x_i=\frac{(x_i-1)^2}{2} $$

と変形できることに着目する。これにより，数列の単調性がすぐ分かる。

さらに，極限を調べるときは，不動点

$$ x=\frac{x^2+1}{2} $$

を満たす値を調べるのが基本である。この式の解は $x=1$ のみであるから，収束するなら極限値は $1$ に限られる。

解法1

**(1)**

上で見たように，

$$ x_{i+1}-x_i=\frac{(x_i-1)^2}{2} $$

である。右辺は常に $0$ 以上であるから，

$$ x_{i+1}\geqq x_i $$

がすべての自然数 $i$ に対して成り立つ。よって ${x_i}$ は単調増加である。

**(2)**

$|x_1|\leqq 1$ とする。このときまず $|x_1|\leqq 1$ は成り立っている。

いま，ある $i$ で $|x_i|\leqq 1$ と仮定すると，

$$ 0\leqq x_i^2\leqq 1 $$

であるから，

$$ \frac12\leqq x_{i+1}=\frac{x_i^2+1}{2}\leqq 1 $$

となる。したがって $|x_{i+1}|\leqq 1$ でもある。

よって数学的帰納法により，すべての自然数 $i$ に対して $|x_i|\leqq 1$ が成り立つ。特に

$$ x_i\leqq 1 $$

がすべての自然数 $i$ に対して成り立つ。

**(3)**

（1） で得た式

$$ x_{i+1}-x_i=\frac{(x_i-1)^2}{2} $$

を $i=1,2,\dots,n$ について足し合わせると，

$$ \sum_{i=1}^n (x_{i+1}-x_i)=\frac12\sum_{i=1}^n (x_i-1)^2 $$

となる。左辺は望みどおりに telescoping して，

$$ x_{n+1}-x_1=\frac12\sum_{i=1}^n (x_i-1)^2 $$

を得る。

**(4)**

$|x_1|\leqq 1$ とする。このとき （1），（2） より，

$$ x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_n\leqq 1 $$

である。したがって $1\leqq i\leqq n$ に対して

$$ 1-x_i\geqq 1-x_n\geqq 0 $$

となるから，

$$ (x_i-1)^2=(1-x_i)^2\geqq (1-x_n)^2=(x_n-1)^2 $$

である。

これを （3） に代入すると，

$$ x_{n+1}-x_1 =\frac12\sum_{i=1}^n (x_i-1)^2 \geqq \frac12\sum_{i=1}^n (x_n-1)^2 =\frac n2 (x_n-1)^2 $$

となる。よって示すべき不等式

$$ x_{n+1}-x_1\geqq \frac n2 (x_n-1)^2 $$

が成り立つ。

**(5)**

初項 $x_1$ の値によって場合分けする。

**(i)**

$-1\leqq x_1\leqq 1$ の場合

（1） より ${x_i}$ は単調増加であり，（2） より $x_i\leqq 1$ である。よって ${x_i}$ は上に有界な単調増加数列だから収束する。

その極限を $L$ とすると，漸化式に極限を入れて

$$ L=\frac{L^2+1}{2} $$

を得る。よって

$$ L^2-2L+1=0 $$

すなわち

$$ (L-1)^2=0 $$

であるから，

$$ L=1 $$

である。したがって $-1\leqq x_1\leqq 1$ のとき，${x_i}$ は $1$ に収束する。

**(ii)**

$x_1>1$ の場合

（1） より ${x_i}$ は単調増加である。また $x_1>1$ なので，すべての $i$ に対して $x_i>1$ である。

もしこの数列が上に有界なら，単調増加数列だから収束し，その極限を $L$ とすると再び

$$ L=\frac{L^2+1}{2} $$

より $L=1$ となる。しかし各項は常に $1$ より大きいので，これは矛盾である。したがって上に有界ではない。

よって ${x_i}$ は $+\infty$ に発散する。

**(iii)**

$x_1<-1$ の場合

このとき

$$ x_2=\frac{x_1^2+1}{2}>1 $$

である。したがって第2項以降に対しては （ii） と同様に，${x_i}$ は単調増加で上に有界ではない。ゆえに

$$ x_i\to +\infty $$

である。

以上より，${x_i}$ は

$$ -1\leqq x_1\leqq 1 $$

のときに限って収束し，その極限値は $1$ である。それ以外，すなわち

$$ x_1<-1 \quad \text{または} \quad x_1>1 $$

のときは $+\infty$ に発散する。

解説

この問題の核心は

$$ x_{i+1}-x_i=\frac{(x_i-1)^2}{2} $$

という変形である。これにより，単調増加性と和の形の恒等式 （3） が一気に得られる。

また，収束判定では「単調かつ有界なら収束」「収束するとすれば極限値は不動点である」という標準手法を使う。不動点が $1$ しかないので，収束する場合の極限値は最初から $1$ に絞られる。

初項が $[-1,1]$ の中にあるときは，数列がその区間内に保たれて上から $1$ に押さえられるので収束する。一方で初項がその外にあると，すぐに $1$ より上に出て，以後は増加し続けて有限値には落ち着けない。

答え

**(1)**

$$ x_{i+1}-x_i=\frac{(x_i-1)^2}{2}\geqq 0 $$

より，すべての自然数 $i$ に対して $x_{i+1}\geqq x_i$ である。

**(2)**

$|x_1|\leqq 1$ なら，すべての自然数 $i$ に対して $|x_i|\leqq 1$，特に $x_i\leqq 1$ である。

**(3)**

$$ x_{n+1}-x_1=\frac12\sum_{i=1}^n (x_i-1)^2 $$

が成り立つ。

**(4)**

$|x_1|\leqq 1$ のとき，

$$ x_{n+1}-x_1\geqq \frac n2 (x_n-1)^2 $$

が成り立つ。

**(5)**

$$ -1\leqq x_1\leqq 1 $$

のとき数列 ${x_i}$ は収束し，

$$ \lim_{i\to\infty}x_i=1 $$

である。

一方，

$$ x_1<-1 \quad \text{または} \quad x_1>1 $$

のときは

$$ x_i\to +\infty $$

となり，発散する。