解説

方針・初手

分母が $k,\ k+1,\ k+3$ とずれて並んでいるので、部分分数分解して和が消し合う形に直すのが自然である。

まず

$$ \frac{1}{k(k+1)(k+3)} =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+3)}\right) $$

と変形する。

解法1

与えられた和を

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+3)} $$

とおく。

先ほどの分解を用いると、

$$ S_n =\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} -\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+3)} $$

となる。

ここで

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $$

より、

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} =\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) =1-\frac{1}{n+1} $$

である。

また、

$$ \frac{1}{(k+1)(k+3)} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right) $$

より、

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+3)} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right) $$

となる。これは途中項が消し合って、

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+3)} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{n+1}\right) -\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) \\ &=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{n+1}\right) -\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right). \end{aligned} $$

よって $n\to\infty$ とすると、$\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n+2},\dfrac{1}{n+3}$ はすべて $0$ に近づくから、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6} =\frac{12}{36}-\frac{5}{36} =\frac{7}{36}. $$

解説

この問題の要点は、三つの因子をそのまま扱わず、差の形に分解して望遠鏡型の和に持ち込むことである。

特に

$$ \frac{1}{k(k+1)},\qquad \frac{1}{(k+1)(k+3)} $$

のような形は、それぞれさらに2項の差に直せるため、多くの項が打ち消し合う。極限そのものを直接考えるより、まず部分和 $S_n$ を整理するのが基本である。

答え

$$ \frac{7}{36} $$

したがって、空欄 $\boxed{\text{オ}}$ には

$$ \frac{7}{36} $$

が入る。