解説

方針・初手

この数列は

$$ a_{n+1}=f(a_n),\qquad f(x)=3-\frac{1}{x^2} $$

という反復で定まっており，$c$ は方程式 $f(x)=x$ の最大実数解である。

したがって，

• まず $c>2$ を示す
• 次に $a_n$ が $n\geq 3$ で常に $2$ 以上になることを示す
• そのうえで $a_{n+1}-c$ を $a_n-c$ で表して評価する

という流れで進めるのが自然である。

解法1

**(1)**

$c>2$ を示す。

方程式

$$ x=3-\frac{1}{x^2} $$

の解は $x\neq 0$ であるから，両辺に $x^2$ を掛けて

$$ x^3-3x^2+1=0 $$

を得る。

ここで

$$ g(x)=x^3-3x^2+1 $$

とおくと，

$$ g(2)=8-12+1=-3<0,\qquad g(3)=27-27+1=1>0 $$

である。

よって中間値の定理により，$g(x)=0$ は区間 $(2,3)$ に少なくとも1つ実数解をもつ。$c$ はその実数解のうち最大のものであるから，

$$ c>2 $$

である。

**(2)**

$n\geq 3$ のとき，$a_n\geq 2$ であることを示す。

まず初項から計算すると，

$$ a_2=3-\frac{1}{(1/2)^2}=3-4=-1, $$

したがって

$$ a_3=3-\frac{1}{(-1)^2}=3-1=2 $$

である。

そこで $n\geq 3$ に対して $a_n\geq 2$ を数学的帰納法で示す。

まず $n=3$ のときは $a_3=2$ で成り立つ。

次に，ある $n\geq 3$ で $a_n\geq 2$ であると仮定する。このとき

$$ a_{n+1}=3-\frac{1}{a_n^2}\geq 3-\frac{1}{2^2}=3-\frac14=\frac{11}{4}>2 $$

となる。よって $a_{n+1}\geq 2$ である。

以上より，すべての $n\geq 3$ に対して

$$ a_n\geq 2 $$

が成り立つ。

**(3)**

$n\geq 3$ のとき，

$$ |a_{n+1}-c|\leq \frac14 |a_n-c| $$

であることを示す。

$c$ は方程式 $x=3-\dfrac{1}{x^2}$ の解であるから，

$$ c=3-\frac{1}{c^2} $$

を満たす。したがって

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-c &=\left(3-\frac{1}{a_n^2}\right)-\left(3-\frac{1}{c^2}\right) \\ &=\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a_n^2} \\ &=\frac{a_n^2-c^2}{a_n^2c^2} \\ &=\frac{(a_n-c)(a_n+c)}{a_n^2c^2}. \end{aligned} $$

よって

$$ \begin{aligned} |a_{n+1}-c| &= \frac{a_n+c}{a_n^2c^2}|a_n-c| \end{aligned} $$

となる。

ここで （1） より $c>2$，（2） より $n\geq 3$ なら $a_n\geq 2$ である。したがって

$$ a_nc-(a_n+c)=(a_n-1)(c-1)-1\geq 1\cdot 1-1=0 $$

より

$$ a_n+c\leq a_nc $$

である。これを用いると，

$$ \frac{a_n+c}{a_n^2c^2}\leq \frac{a_nc}{a_n^2c^2}=\frac{1}{a_nc}\leq \frac14 $$

となる。ゆえに

$$ |a_{n+1}-c|\leq \frac14 |a_n-c| $$

が成り立つ。

**(4)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=c$ を示す。

（3） の不等式を繰り返し用いると，$n\geq 3$ に対して

$$ |a_n-c| \leq \left(\frac14\right)^{n-3}|a_3-c| $$

を得る。

実際，$n=3$ では等号で成り立ち，$n$ から $n+1$ へは （3） によりただちに従う。

ここで $\left(\dfrac14\right)^{n-3}\to 0\ (n\to\infty)$ であるから，

$$ |a_n-c|\to 0 $$

となる。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=c $$

である。

解説

この問題の本質は，数列 ${a_n}$ が

$$ x\mapsto 3-\frac{1}{x^2} $$

という写像の不動点 $c$ に向かう反復であるとみることである。

ただし，いきなり収束を論じるのではなく，まず （2） で $n\geq 3$ なら $a_n\geq 2$ を確保する必要がある。これによって $a_n$ が危険な領域から外れ，以後は不動点 $c$ との差が毎回高々 $\dfrac14$ 倍になることが （3） で示せる。この「誤差が等比級数的に減る」という評価が，（4） の収束を直ちに与える。

答え

**(1)**

$c>2$

**(2)**

$n\geq 3$ のとき $a_n\geq 2$

**(3)**

$n\geq 3$ のとき

$$ |a_{n+1}-c|\leq \frac14 |a_n-c| $$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=c $$