解説

方針・初手

まず （1） で $a_n$ の範囲を $2 \leqq a_n \leqq 3$ に閉じ込める。これにより根号の中が常に正であることが保証され、さらに （2） では

$$ 3-\sqrt{4a_n-3} $$

を有理化して、$3$ との差が毎回一定割合以下に縮むことを示す。最後はその評価を繰り返して （3） の極限を求める。

解法1

（1） すべての自然数 $n$ について $2 \leqq a_n \leqq 3$ を示す。

数学的帰納法を用いる。

まず $n=1$ では、

$$ a_1=2 $$

であるから、確かに

$$ 2 \leqq a_1 \leqq 3 $$

が成り立つ。

次に、ある自然数 $n$ について

$$ 2 \leqq a_n \leqq 3 $$

が成り立つと仮定する。このとき

$$ 8 \leqq 4a_n \leqq 12 $$

より

$$ 5 \leqq 4a_n-3 \leqq 9 $$

である。したがって平方根をとると

$$ \sqrt{5} \leqq a_{n+1}=\sqrt{4a_n-3} \leqq 3 $$

を得る。ここで $\sqrt{5}>2$ であるから、

$$ 2 \leqq a_{n+1} \leqq 3 $$

が成り立つ。

よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について

$$ 2 \leqq a_n \leqq 3 $$

である。

（2） すべての自然数 $n$ について

$$ |a_{n+1}-3|\leqq \frac45 |a_n-3| $$

を示す。

（1） より $2 \leqq a_n \leqq 3$ であるから、$a_{n+1}=\sqrt{4a_n-3}$ についても

$$ 2 \leqq a_{n+1} \leqq 3 $$

が成り立つ。したがって $a_n \leqq 3,\ a_{n+1}\leqq 3$ より

$$ |a_n-3|=3-a_n,\qquad |a_{n+1}-3|=3-a_{n+1} $$

である。

そこで

$$ 3-a_{n+1} =3-\sqrt{4a_n-3} $$

を有理化すると、

$$ \begin{aligned} 3-\sqrt{4a_n-3} &=\frac{(3-\sqrt{4a_n-3})(3+\sqrt{4a_n-3})}{3+\sqrt{4a_n-3}}\\ &=\frac{9-(4a_n-3)}{3+\sqrt{4a_n-3}}\\ &=\frac{4(3-a_n)}{3+\sqrt{4a_n-3}} \end{aligned} $$

となる。ここで $a_{n+1}=\sqrt{4a_n-3}\geqq 2$ であるから

$$ 3+\sqrt{4a_n-3}\geqq 5 $$

である。よって

$$ 3-a_{n+1} =\frac{4(3-a_n)}{3+\sqrt{4a_n-3}} \leqq \frac45(3-a_n) $$

を得る。すなわち

$$ |a_{n+1}-3|\leqq \frac45 |a_n-3| $$

が成り立つ。

**(3)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ を求める。

（2） の不等式を繰り返し用いると、

$$ |a_n-3| \leqq \left(\frac45\right)^{n-1}|a_1-3| $$

となる。ここで $a_1=2$ であるから

$$ |a_1-3|=1 $$

より

$$ |a_n-3|\leqq \left(\frac45\right)^{n-1} $$

を得る。

ところが

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac45\right)^{n-1}=0 $$

であるから、はさみうちにより

$$ \lim_{n\to\infty}|a_n-3|=0 $$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=3 $$

である。

解説

この問題の要点は、まず数列が区間 $[2,3]$ に収まることを帰納法で押さえる点にある。これを先に示しておくと、（2） で絶対値を外しやすくなり、さらに分母 $3+\sqrt{4a_n-3}$ に対して $5$ という下界が得られる。

その上で、$3$ との差が毎回 $\frac45$ 倍以下になることが分かれば、$3$ への収束は等比数列との比較で直ちに従う。極限値を先に $L=\sqrt{4L-3}$ とおいて求めるだけでは、実際に収束することの証明が欠けるので、この縮小評価が本質である。

答え

**(1)**

すべての自然数 $n$ について

$$ 2 \leqq a_n \leqq 3 $$

である。

**(2)**

すべての自然数 $n$ について

$$ |a_{n+1}-3|\leqq \frac45 |a_n-3| $$

である。

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=3 $$

である。