解説

方針・初手

部分和

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} $$

を考え，これを積分で下から評価する。各項は正なので，下から $\infty$ に発散することが示せれば極限は $+\infty$ である。

解法1

関数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ は $x\geq 1$ で単調減少である。したがって，各整数 $k\geq 1$ に対して

$$ \int_{k}^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\leq \frac{1}{\sqrt{k}} $$

が成り立つ。これを $k=1,2,\dots,n$ について足し合わせると，

$$ \int_{1}^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}} \leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} =S_n $$

となる。

左辺を計算すると，

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}} &= \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{n+1} \\ 2\sqrt{n+1}-2 \end{aligned} $$

であるから，

$$ S_n\geq 2\sqrt{n+1}-2 $$

を得る。

ここで $n\to\infty$ とすると，

$$ 2\sqrt{n+1}-2\to +\infty $$

であるから，

$$ S_n\to +\infty $$

となる。ゆえに

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=+\infty $$

である。

解説

$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ は $k$ が大きくなっても減り方が遅いので，部分和は有限値に近づかない。一般に $\sum \dfrac{1}{k^p}$ は $p\leq 1$ で発散し，この問題は $p=\dfrac12$ の場合に当たる。積分との比較が最も標準的である。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=+\infty $$