解説

方針・初手

和 $S_n=\sum_{k=1}^n k^7$ は，高次のべきの和であるから，単調増加関数 $f(x)=x^7$ の定積分ではさみうつと評価しやすい。

また，$T_n=\sum_{k=1}^n k^3$ は公式

$$ T_n=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$

が使えるので，これと （1） の評価を組み合わせれば極限が分かる。

解法1

**(1)**

関数 $f(x)=x^7$ は $x\geqq 0$ で単調増加する。

したがって，各整数 $k=1,2,\dots,n$ に対して，区間 $[k-1,k]$ では $x\leqq k$ であるから

$$ x^7\leqq k^7 $$

であり，しかも等号は区間全体では成り立たないので

$$ \int_{k-1}^{k} x^7,dx<k^7 $$

となる。

同様に，区間 $[k,k+1]$ では $x\geqq k$ であるから

$$ k^7\leqq x^7 $$

であり，やはり区間全体では等号は成り立たないので

$$ k^7<\int_k^{k+1} x^7,dx $$

となる。

以上を $k=1,2,\dots,n$ について足し合わせると，

$$ \sum_{k=1}^n \int_{k-1}^{k} x^7,dx < \sum_{k=1}^n k^7 < \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} x^7,dx $$

すなわち

$$ \int_0^n x^7,dx < S_n < \int_1^{n+1} x^7,dx $$

を得る。

これを計算すると，

$$ \frac{n^8}{8} < S_n < \frac{(n+1)^8-1}{8} $$

となり，示された。

**(2)**

まず，

$$ T_n=\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$

である。

一方，（1） より

$$ S_n>\frac{n^8}{8} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \frac{S_n}{T_n} &> \frac{n^8/8}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}\\ &= \frac{n^8}{8}\cdot \frac{4}{n^2(n+1)^2}\\ &= \frac{n^6}{2(n+1)^2} \end{aligned} $$

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{n^6}{2(n+1)^2} &= \frac{n^4}{2\left(1+\frac{1}{n}\right)^2} \to \infty \qquad (n\to\infty) \end{aligned} $$

であるから，はさみうちではなく下からの評価だけで十分に

$$ \frac{S_n}{T_n}\to\infty $$

と分かる。

解説

この問題の要点は，和をそのまま計算しようとしないことである。

$S_n$ の厳密な公式を求めるのは重いが，$x^7$ が単調増加であることを使えば，長方形の面積と定積分の比較によって簡潔に評価できる。これが （1） の本質である。

（2） では，$S_n$ の増え方が $n^8$ 程度，$T_n$ の増え方が $n^4$ 程度であることを見抜けばよい。したがって比は $n^4$ 程度で発散し，極限は $\infty$ になる。

答え

**(1)**

$$ \frac{n^8}{8}<S_n<\frac{(n+1)^8-1}{8} $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{T_n}=\infty $$