解説

方針・初手

（1） は、$y=\dfrac{1}{x}$ が単調減少することを用いて、各区間 $[k,k+1]$ での定積分を上下からはさめばよい。

（2） は、床関数 $[x]$ に対する基本不等式

$$ x-1<[x]\leqq x $$

を $\dfrac{n}{k}$ に適用して総和を評価し、（1） で得た調和級数と $\log n$ の比較を使えば極限が出る。

解法1

**(1)**

関数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ は $x>0$ で単調減少である。

したがって、各整数 $k=1,2,\dots,n-1$ に対して、区間 $[k,k+1]$ 上では

$$ \frac{1}{k+1}<\frac{1}{x}<\frac{1}{k} $$

が成り立つ。

これを $x=k$ から $x=k+1$ まで積分すると、

$$ \frac{1}{k+1}<\int_k^{k+1}\frac{1}{x},dx<\frac{1}{k} $$

を得る。

これを $k=1,2,\dots,n-1$ について足し合わせると、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k+1} < \int_1^n\frac{1}{x},dx < \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} $$

となる。

ここで

$$ \int_1^n\frac{1}{x},dx=\log n $$

であるから、

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} < \log n < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1} $$

が示された。

**(2)**

$$ a_n=\sum_{k=1}^n\left[\frac{n}{k}\right] $$

とおく。

床関数の性質より、任意の実数 $x$ に対して

$$ x-1<[x]\leqq x $$

である。これを $x=\dfrac{n}{k}$ に適用すると、

$$ \frac{n}{k}-1<\left[\frac{n}{k}\right]\leqq \frac{n}{k} $$

となる。

これを $k=1,2,\dots,n$ について足し合わせると、

$$ \sum_{k=1}^n\left(\frac{n}{k}-1\right) < a_n \leqq \sum_{k=1}^n\frac{n}{k} $$

すなわち、

$$ n\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-n < a_n \leqq n\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} $$

を得る。

ここで

$$ H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} $$

とおけば、

$$ nH_n-n<a_n\leqq nH_n $$

である。$n\geqq 2$ なので $\log n>0$ であり、$n\log n$ で割ることができるから、

$$ \frac{H_n}{\log n}-\frac{1}{\log n} < \frac{a_n}{n\log n} \leqq \frac{H_n}{\log n} $$

となる。

ここで （1） の結果を用いる。

まず、

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}<\log n $$

より、

$$ H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}<1+\log n $$

である。したがって、

$$ \frac{H_n}{\log n}<1+\frac{1}{\log n} $$

を得る。

また、

$$ \log n<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}<H_n $$

であるから、

$$ 1<\frac{H_n}{\log n} $$

となる。

以上より、

$$ 1-\frac{1}{\log n} < \frac{a_n}{n\log n} < 1+\frac{1}{\log n} $$

が成り立つ。

$n\to\infty$ のとき $\dfrac{1}{\log n}\to 0$ であるから、はさみうちの原理により

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n\log n}=1 $$

である。

解説

（1） の本質は、$\dfrac{1}{x}$ が減少関数であるため、各区間 $[k,k+1]$ で長方形の面積と積分値を比較できる点にある。これは調和級数と対数の関係を示す典型手法である。

（2） では、床関数をそのまま扱おうとすると複雑になるが、$[x]$ を $x$ と $x-1$ ではさむと総和全体がすぐ評価できる。そこで現れる $\sum \dfrac{1}{k}$ が （1） によって $\log n$ と同程度であると分かるので、極限が決まるのである。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} < \log n < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1} $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n\log n}=1 $$