基礎問題集
数学3 極限「はさみうち」の問題4 解説
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解説
方針・初手
（1） は微分して導関数の符号を調べればよい。
（2） は （1） の結果を $x=3,4,5,\dots$ に適用し，
$$ \frac{\log n}{n} $$
の単調性から
$$ n^{1/n} $$
の単調性へ移す。
（3） は二項定理で展開すると，各項が正であることからすぐに下から評価できる。
（4） は （3） を
$$ n^{1/n} $$
の上界に直し，$1$ とのはさみうちを行う。
解法1
**(1)**
$$ f(x)=\frac{\log x}{x} $$
とおくと，
$$ f'(x)=\frac{1\cdot x-(\log x)\cdot 1\cdot x}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2} $$
である。
$x\ge e$ のとき $\log x\ge 1$ であるから，
$$ 1-\log x\le 0 $$
したがって
$$ f'(x)\le 0 \qquad (x\ge e) $$
となる。よって $f(x)$ は $x\ge e$ で減少関数である。
**(2)**
（1） より
$$ f(x)=\frac{\log x}{x} $$
は $x\ge e$ で減少関数である。
いま $n\ge 3$ とすると $n\ge e$ であるから，
$$ \frac{\log n}{n}>\frac{\log(n+1)}{n+1} $$
が成り立つ。
指数関数は増加関数なので，両辺を底 $e$ の指数でとれば，
$$ e^{\frac{\log n}{n}}>e^{\frac{\log(n+1)}{n+1}} $$
すなわち
$$ n^{1/n}>(n+1)^{1/(n+1)} $$
を得る。
したがって
$$ \sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}>\sqrt[5]{5}>\cdots $$
が成り立つ。
**(3)**
二項定理より，
$$ \left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n =1+{}_{n}\mathrm{C}_{1}\frac{1}{\sqrt n} +{}_{n}\mathrm{C}_{2}\frac{1}{n} +\cdots+\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)^n $$
である。
右辺の各項はすべて正であるから，第 $1$ 項と第 $2$ 項だけを取っても
$$ \left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n
> 1+{}_{n}\mathrm{C}_{1}\frac{1}{\sqrt n} > =1+\frac{n}{\sqrt n} > =1+\sqrt n > \sqrt n > $$
となる。
よって
$$
\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n>\sqrt n
$$
が成り立つ。
**(4)**
（3） より
$$
\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n>\sqrt n
$$
であるから，両辺の $n$ 乗根をとって
$$
1+\frac{1}{\sqrt n}>n^{1/(2n)}
$$
を得る。さらに両辺を2乗して
$$
\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^2>n^{1/n}
$$
したがって
$$
n^{1/n}<1+\frac{2}{\sqrt n}+\frac{1}{n}
$$
である。
一方，$n\ge 1$ なら $n^{1/n}\ge 1$ であるから，
$$
1\le n^{1/n}<1+\frac{2}{\sqrt n}+\frac{1}{n}
$$
となる。ここで $n\to\infty$ とすると右辺は $1$ に収束するので，はさみうちの原理より
$$
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1
$$ \begin{aligned} である。 \\ 解説
\\ この問題の中心は \end{aligned} $$
\frac{\log x}{x}
$$ の減少性である。
（2） はそれを整数列 $n^{1/n}$ に移しただけであり，連続関数の単調性を数列に応用する典型である。
（3） は見かけほど難しくなく，二項定理で展開したあと，正の項が並ぶことを利用して必要最小限の項だけを残せばよい。
（4） では （3） の不等式をそのまま使うのではなく， $$
n^{1/n}
解説
をはさめる形に変形することが要点である。
答え
**(1)**
$$ f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}\le 0 \qquad (x\ge e) $$
より，
$$
f(x)=\frac{\log x}{x}
$$
は $x\ge e$ で減少関数である。
**(2)**
$$
\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}>\sqrt[5]{5}>\cdots
$$
**(3)**
$$
\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n>\sqrt n
$$
**(4)**
$$
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1
$$