解説

方針・初手

（1） は $\sqrt{1+x}$ と $1+x$ がともに正であることを用い，必要なら両辺を2乗して比較する。

（2） は （1） の不等式を $x=\dfrac{k}{n^2}$ に適用し，各項を上下からはさんで総和全体を評価する。最後ははさみうちの原理で極限を求める。

解法1

**(1)**

$x>0$ であるから，

$$ 1+x>1 $$

である。両辺は正なので平方根をとることができ，

$$ \sqrt{1+x}>1 $$

を得る。したがって

$$ 1<\sqrt{1+x} $$

である。

次に，$x>0$ より $1+x>0$ であるから，$\sqrt{1+x}$ と $1+x$ はともに正である。よって，$\sqrt{1+x}<1+x$ を示すには両辺を2乗して比較すればよい。

$$ 1+x<(1+x)^2 $$

が成り立てばよいが，

$$ (1+x)^2-(1+x)=x+x^2=x(1+x)>0 $$

であるから，確かに

$$ 1+x<(1+x)^2 $$

である。よって，

$$ \sqrt{1+x}<1+x $$

が従う。

以上より，

$$ 1<\sqrt{1+x}<1+x $$

が成り立つ。

**(2)**

（1） の結果を $x=\dfrac{k}{n^2}$ に適用する。$1\leqq k\leqq n$ であり，$n$ は正の整数だから

$$ \frac{k}{n^2}>0 $$

である。したがって，

$$ 1<\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}<1+\frac{k}{n^2} \qquad (k=1,2,\dots,n) $$

が成り立つ。

これを $k=1,2,\dots,n$ について足し合わせると，

$$ \sum_{k=1}^{n}1 < \sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}} < \sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^2}\right) $$

すなわち，

$$ n < \sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}} < n+\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k $$

である。両辺を $n$ で割ると，

$$ 1 < \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}} < 1+\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k $$

となる。ここで，

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} $$

より，

$$ 1 < \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}} < 1+\frac{n(n+1)}{2n^3} = 1+\frac{n+1}{2n^2} $$

を得る。

右端は $n\to\infty$ で

$$ 1+\frac{n+1}{2n^2}\to 1 $$

であるから，はさみうちの原理により

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}=1 $$

となる。

解説

この問題の要点は，（1） で得た不等式をそのまま （2） の各項評価に使うことである。各項 $\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}$ は $1$ に非常に近いので，総和はほぼ $n$，したがって全体を $n$ で割った値は $1$ に近づくと見通せる。

直接展開や近似を使わなくても，不等式評価だけで厳密に極限が求まるのがこの問題の核心である。

答え

**(1)**

$$ 1<\sqrt{1+x}<1+x \qquad (x>0) $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}=1 $$