解説

方針・初手

$n$ 乗根がついているので、まず定義式を $n$ 乗した形で扱うのが自然である。

$$ x_n^n=\frac{a^n}{b}+\frac{b^n}{a} $$

与えられた不等式は $a x_n^n$ を考えると整理しやすい。実際、

$$ a x_n^n=\frac{a^{n+1}}{b}+b^n $$

となる。ここで $0<a<b$ から $\dfrac{a}{b}<1$ を用いれば、(1) の評価がそのまま得られる。さらにその評価に $n$ 乗根を施せば、(2) の極限もはさみうちで求まる。

解法1

まず定義式より

$$ x_n^n=\frac{a^n}{b}+\frac{b^n}{a} $$

であるから、両辺に $a$ を掛けると

$$ a x_n^n=\frac{a^{n+1}}{b}+b^n $$

となる。

ここで $0<a<b$ より

$$ 0<\frac{a}{b}<1 $$

である。したがって

$$ \frac{a^{n+1}}{b}=\frac{a}{b},a^n<a^n<b^n $$

が成り立つ。また $\dfrac{a^{n+1}}{b}>0$ でもある。

よって

$$ b^n<b^n+\frac{a^{n+1}}{b}<b^n+b^n=2b^n $$

すなわち

$$ b^n<a x_n^n<2b^n $$

となる。これで （1） は証明された。

次に、すべて正の数であるから、この不等式の各辺の $n$ 乗根をとることができて、

$$ b<a^{1/n}x_n<2^{1/n}b $$

を得る。さらに $a^{1/n}>0$ なので両辺を $a^{1/n}$ で割れば

$$ \frac{b}{a^{1/n}}<x_n<\frac{2^{1/n}b}{a^{1/n}} $$

となる。

ここでよく知られた極限

$$ \lim_{n\to\infty}a^{1/n}=1,\qquad \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$

を用いると、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{b}{a^{1/n}}=b,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{2^{1/n}b}{a^{1/n}}=b $$

である。したがって、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=b $$

となる。これで （2） も求まった。

解説

この問題の要点は、$x_n$ そのものではなく $x_n^n$ を見ることである。定義式のままでは $n$ 乗根が邪魔になるが、$a x_n^n$ に直すと

$$ a x_n^n=\frac{a^{n+1}}{b}+b^n $$

となり、$\dfrac{a}{b}<1$ から $\dfrac{a^{n+1}}{b}<b^n$ がすぐ出る。すると上下評価が一気に完成する。

極限も、式変形で直接求めるより、この評価を $n$ 乗根に戻してはさみうちするのが最も素直である。

答え

**(1)**

$$ b^n<a(x_n)^n<2b^n $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=b $$