解説

方針・初手

（1） は対数の不等式であり、両端の式との差を関数として置いて単調性を調べればよい。

（2） は積の極限なので、そのまま扱うよりも対数を取って和に直すのが自然である。すると （1） の不等式を各因子

$$ 1-\frac{k}{2n^2} $$

に適用できる。

解法1

**(1)**

まず右側の不等式

$$ \log(1-x)\le -x $$

を示す。

関数

$$ f(x)=\log(1-x)+x $$

を考えると、

$$ f'(x)=-\frac{1}{1-x}+1=-\frac{x}{1-x}\le 0 $$

であるから、$f(x)$ は $0\le x\le \frac12$ で単調減少である。しかも

$$ f(0)=\log 1+0=0 $$

であるから、

$$ f(x)\le 0 $$

すなわち

$$ \log(1-x)\le -x $$

を得る。

次に左側の不等式

$$ -x^2-x\le \log(1-x) $$

を示す。

関数

$$ g(x)=\log(1-x)+x+x^2 $$

を考えると、

$$ g'(x)=-\frac{1}{1-x}+1+2x =\frac{(1+2x)(1-x)-1}{1-x} =\frac{x-2x^2}{1-x} =\frac{x(1-2x)}{1-x} $$

となる。ここで $0\le x\le \frac12$ では

$$ x\ge 0,\qquad 1-2x\ge 0,\qquad 1-x>0 $$

なので

$$ g'(x)\ge 0 $$

である。したがって $g(x)$ は $0\le x\le \frac12$ で単調増加し、

$$ g(0)=\log 1+0+0=0 $$

より

$$ g(x)\ge 0 $$

となる。よって

$$ \log(1-x)\ge -x-x^2 $$

である。

以上より

$$ -x^2-x\le \log(1-x)\le -x \qquad \left(0\le x\le \frac12\right) $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ a_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{k}{2n^2}\right) $$

と書ける。

各 $k=1,2,\dots,n$ に対して

$$ 0\le \frac{k}{2n^2}\le \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}\le \frac12 $$

であるから、（1） を

$$ x=\frac{k}{2n^2} $$

に適用できる。すると

$$ -\left(\frac{k}{2n^2}\right)^2-\frac{k}{2n^2} \le \log\left(1-\frac{k}{2n^2}\right) \le -\frac{k}{2n^2} $$

となる。これを $k=1$ から $n$ まで足し合わせると、

$$ -\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{2n^2}\right)^2-\sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2} \le \log a_n \le -\sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2} $$

を得る。

ここで

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2} &= \frac{1}{2n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2} \\ \frac{n+1}{4n} \to \frac14 \qquad (n\to\infty) \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{2n^2}\right)^2 &= \frac{1}{4n^4}\sum_{k=1}^n k^2 \\ \frac{1}{4n^4}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \frac{(n+1)(2n+1)}{24n^3} \to 0 \qquad (n\to\infty) \end{aligned} $$

である。したがってはさみうちにより

$$ \log a_n\to -\frac14 \qquad (n\to\infty) $$

となる。指数関数の連続性から

$$ a_n\to e^{-1/4} $$

を得る。

解説

この問題の本質は、積の極限をそのまま扱わず、対数を取って和に変えることにある。

そのために （1） の評価

$$ -x-x^2\le \log(1-x)\le -x $$

がちょうど使える。各因子の $x=\frac{k}{2n^2}$ は非常に小さいので、$\log(1-x)$ は $-x$ に近く、誤差は $x^2$ の和で抑えられる。実際、その二乗和が $0$ に収束するので、$\log a_n$ の極限が決まる。

答え

**(1)**

$$ -x^2-x\le \log(1-x)\le -x \qquad \left(0\le x\le \frac12\right) $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=e^{-1/4} $$