解説

方針・初手

まず $f'(x),f''(x)$ を計算して増減を調べる。すると $f''(x)\ge 0$ となり、さらに $f'(1)=0$ が成り立つので、$x=1$ で $f(x)$ が最小になることが分かる。

その不等式をそのまま使うだけでは $(\log x)^2/x$ の極限は出しにくいので、最後は (2) を $\sqrt{x}$ に対して適用してはさみうちに持ち込む。

解法1

**(1)**

$f'(x),f''(x)$ を求める。

与えられた関数は

$$ f(x)=6x-6\log x-3(\log x)^2-(\log x)^3 $$

である。

したがって

$$ f'(x)=6-\frac{6}{x}-\frac{6\log x}{x}-\frac{3(\log x)^2}{x} $$

であり、まとめると

$$ f'(x)=6-\frac{3{(\log x)^2+2\log x+2}}{x} $$

となる。

次に、$B=(\log x)^2+2\log x+2$ とおくと

$$ f'(x)=6-\frac{3B}{x} $$

であるから、

$$ f''(x)=-3\frac{d}{dx}\left(\frac{B}{x}\right) $$

となる。ここで

$$ B'=\frac{2\log x+2}{x} $$

であるから、

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{B}{x}\right) =\frac{xB'-B}{x^2} =\frac{(2\log x+2)-{(\log x)^2+2\log x+2}}{x^2} =-\frac{(\log x)^2}{x^2} $$

したがって

$$ f''(x)=\frac{3(\log x)^2}{x^2} $$

を得る。

**(2)**

$f(x)\ge f(1)$ を示す。

（1） で求めたように

$$ f''(x)=\frac{3(\log x)^2}{x^2}\ge 0 \qquad (x>0) $$

であるから、$f'(x)$ は $(0,\infty)$ で単調増加である。

また、

$$ f'(1)=6-\frac{3{(\log 1)^2+2\log 1+2}}{1} =6-3\cdot 2 =0 $$

である。

よって、$f'(x)$ は $x=1$ を境にして

$$ 0<x<1 \ \Rightarrow\ f'(x)\le 0,\qquad x>1 \ \Rightarrow\ f'(x)\ge 0 $$

となる。したがって $f(x)$ は $(0,1)$ で減少し、$(1,\infty)$ で増加する。

ゆえに $f(x)$ は $x=1$ で最小値をとるので、

$$ f(x)\ge f(1) $$

がすべての $x>0$ に対して成り立つ。

なお、

$$ f(1)=6 $$

であるから、

$$ f(x)\ge 6 $$

ともいえる。

**(3)**

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(\log x)^2}{x}$ を求める。

$x\to\infty$ のとき十分大きい $x$ では $x>1$ であるから、(2) の不等式を $\sqrt{x}$ に対して用いることができる。すると

$$ f(\sqrt{x})\ge f(1)=6 $$

より

$$ 6\sqrt{x}-6\log \sqrt{x}-3(\log \sqrt{x})^2-(\log \sqrt{x})^3\ge 6 $$

である。

ここで $\log \sqrt{x}=\frac12\log x$ を用いると、

$$ 6\sqrt{x}-3\log x-\frac34(\log x)^2-\frac18(\log x)^3\ge 6 $$

となる。したがって

$$ 6\sqrt{x}\ge 6+3\log x+\frac34(\log x)^2+\frac18(\log x)^3 \ge \frac34(\log x)^2 $$

である。

よって

$$ 0\le \frac{(\log x)^2}{x}\le \frac{8}{\sqrt{x}} $$

が成り立つ。右辺は $x\to\infty$ で $0$ に収束するから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{(\log x)^2}{x}=0 $$

である。

解説

この問題の核心は、$f''(x)$ がきれいに

$$ f''(x)=\frac{3(\log x)^2}{x^2} $$

となることである。これにより $f'(x)$ が単調増加と分かり、さらに $f'(1)=0$ を使って $x=1$ が最小点だと判断できる。

また、(3) では (2) をそのまま $x$ に使っても $(\log x)^2/x$ を直接はさみにくい。そこで $\sqrt{x}$ を代入して、右辺に $\sqrt{x}$ を作るのがポイントである。これにより $(\log x)^2/x$ を $1/\sqrt{x}$ でおさえられる。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=6-\frac{6}{x}-\frac{6\log x}{x}-\frac{3(\log x)^2}{x} =6-\frac{3{(\log x)^2+2\log x+2}}{x} $$

$$ f''(x)=\frac{3(\log x)^2}{x^2} $$

**(2)**

すべての $x>0$ に対して

$$ f(x)\ge f(1)=6 $$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{(\log x)^2}{x}=0 $$