解説

方針・初手

（1） は，それぞれの差を関数としておき，微分して単調性を調べれば示せる。

（2） は

$$ y=\frac{1}{\log(1+x)}-\frac{1}{x} $$

を関数とみて単調性と極限を調べる。特に （1） の右側の不等式は $y$ の減少性に，左側の不等式は $x\to 0^+$ での極限にそのまま使える。

解法1

**(1)**

まず

$$ f(x)=\log(1+x)-x+\frac{x^2}{2} $$

とおくと，

$$ f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x =\frac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x} =\frac{x^2}{1+x}>0 \qquad (x>0) $$

である。しかも $f(0)=0$ であるから，$x>0$ で $f(x)>0$ となる。したがって

$$ x-\frac{x^2}{2}<\log(1+x) $$

が成り立つ。

次に

$$ g(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\log(1+x) $$

とおくと，

$$ g'(x)=\frac{x+2}{2(1+x)^{3/2}}-\frac{1}{1+x} =\frac{x+2-2\sqrt{1+x}}{2(1+x)^{3/2}} =\frac{(\sqrt{1+x}-1)^2}{2(1+x)^{3/2}}>0 \qquad (x>0) $$

である。しかも $g(0)=0$ であるから，$x>0$ で $g(x)>0$ となる。よって

$$ \log(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}} $$

が成り立つ。

以上より，

$$ x-\frac{x^2}{2}<\log(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}} \qquad (x>0) $$

である。

**(2)**

$$ y=\frac{1}{\log(1+x)}-\frac{1}{x} $$

とおく。

まず （1） の右側の不等式より

$$ \log(1+x)<x $$

であるから，

$$ \frac{1}{\log(1+x)}>\frac{1}{x} $$

となり，

$$ y>0 $$

である。

次に単調性を調べる。微分すると

$$ y'=-\frac{1}{(1+x)(\log(1+x))^2}+\frac{1}{x^2} $$

である。

ここで （1） の右側の不等式

$$ \log(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}} $$

を二乗すると

$$ (\log(1+x))^2<\frac{x^2}{1+x} $$

となるので，

$$ \frac{1}{(1+x)(\log(1+x))^2}>\frac{1}{x^2} $$

である。したがって

$$ y'=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(1+x)(\log(1+x))^2}<0 $$

となり，$y$ は $x>0$ で単調減少である。

つぎに両端での極限を調べる。

まず $x\to 0^+$ のとき，（1） より

$$ x-\frac{x^2}{2}<\log(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}} \qquad (0<x<2) $$

であるから，逆数をとって

$$ \frac{\sqrt{1+x}}{x}<\frac{1}{\log(1+x)}<\frac{1}{x\left(1-\frac{x}{2}\right)} $$

となる。ここから $\frac{1}{x}$ を引くと

$$ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}<y<\frac{1}{x\left(1-\frac{x}{2}\right)}-\frac{1}{x}. $$

左辺は

$$ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}, $$

右辺は

$$ \frac{1}{x\left(1-\frac{x}{2}\right)}-\frac{1}{x} =\frac{1}{2-x} $$

であるから，

$$ \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}<y<\frac{1}{2-x}. $$

$x\to 0^+$ とすると両端はいずれも $\frac12$ に収束するので，

$$ \lim_{x\to 0^+}y=\frac12 $$

である。

また $x\to \infty$ のときは，$y>0$ かつ

$$ y=\frac{1}{\log(1+x)}-\frac{1}{x}<\frac{1}{\log(1+x)} $$

であり，$\log(1+x)\to\infty$ だから

$$ \lim_{x\to\infty}y=0 $$

である。

以上より，$y$ は $x>0$ で単調減少し，

$$ \lim_{x\to 0^+}y=\frac12,\qquad \lim_{x\to\infty}y=0 $$

であるから，$y$ のとりうる値の範囲は

$$ 0<y<\frac12 $$

である。

解説

この問題の要点は，不等式そのものを直接いじるよりも，差を関数としておいて微分することである。

（1） の右側の不等式は，（2） で導関数の符号を決めるために重要である。実際，

$$ \log(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}} $$

から

$$ (1+x)(\log(1+x))^2<x^2 $$

が出て，これがそのまま $y'<0$ を与える。

また （1） の左側の不等式は，$x\to 0^+$ のときの $\log(1+x)$ の近似として働き，$y\to \frac12$ をはさみうちで処理できる。（1） で得た評価を （2） に再利用するのがこの問題の狙いである。

答え

**(1)**

$$ x-\frac{x^2}{2}<\log(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}} \qquad (x>0) $$

**(2)**

$$ 0<y<\frac12 $$

すなわち，

$$ y=\frac{1}{\log(1+x)}-\frac{1}{x} \qquad (x>0) $$

のとりうる値の範囲は

$$ \left(0,\frac12\right) $$

である。