解説

方針・初手

座標を置いて、点列 (A_1,A_2,A_3,\dots) の位置を明示的に表すのが最も速い。

(\triangle OA_1A_2) は (A_2) で直角であり、(OA_1=1,\ A_1A_2=\dfrac1{\sqrt n}) だから、まず (OA_2) と (\angle A_1OA_2) の余弦・正弦を求める。すると、各点は直線 (OA_1) と直線 (OA_2) の上を交互に動き、しかも (O) からの距離が毎回一定比で縮むことが分かる。

解法1

[ OA_2=\sqrt{OA_1^2-A_1A_2^2} =\sqrt{1-\frac1n} =\sqrt{\frac{n-1}{n}} ]

とおく。また、(\theta=\angle A_1OA_2) とすると、

[ \cos\theta=\frac{OA_2}{OA_1}=\sqrt{\frac{n-1}{n}},\qquad \sin\theta=\frac{A_1A_2}{OA_1}=\frac1{\sqrt n} ]

である。

以下、

[ c=\sqrt{\frac{n-1}{n}},\qquad s=\frac1{\sqrt n} ]

とおく。

座標を

[ O=(0,0),\qquad A_1=(1,0) ]

とし、(A_2) は (x)-軸の上側にあるものとする。このとき、直線 (OA_2) の単位方向ベクトルは ((c,s)) である。

さらに、(A_{k+1}) は (A_k) を直線 (OA_{k-1}) に正射影した点なので、奇数番目の点は常に直線 (OA_1) 上、偶数番目の点は常に直線 (OA_2) 上にあり、(O) からの距離は毎回 (c) 倍になる。したがって、(m=1,2,\dots) に対し

[ A_{2m-1}=c^{2m-2}(1,0),\qquad A_{2m}=c^{2m-1}(c,s) ]

である。

（1） (\vec h_k\cdot \vec h_{k+1}) を求める

[ \vec h_k=\overrightarrow{A_kA_{k+1}} ]

であるから、

[ \vec h_{2m-1}=A_{2m}-A_{2m-1} =c^{2m-2}(c^2-1,cs) =c^{2m-2}(-s^2,cs) ]

また、

[ \vec h_{2m}=A_{2m+1}-A_{2m} =c^{2m}(1,0)-c^{2m-1}(c,s) =c^{2m-1}(0,-s) ]

となる。

まず奇数番目について計算すると、

[ \vec h_{2m-1}\cdot \vec h_{2m} =c^{2m-2}(-s^2,cs)\cdot c^{2m-1}(0,-s) =-c^{4m-2}s^2 ]

同様に偶数番目についても、

[ \vec h_{2m}\cdot \vec h_{2m+1} =c^{2m-1}(0,-s)\cdot c^{2m}(-s^2,cs) =-c^{4m}s^2 ]

となる。

ここで (k=2m-1) または (k=2m) と見れば、どちらの場合も

[ \vec h_k\cdot \vec h_{k+1}=-c^{2k}s^2 ]

すなわち

[ \vec h_k\cdot \vec h_{k+1} =-\frac1n\left(\frac{n-1}{n}\right)^k ]

である。

（2） (\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n) を求める

[ S_n=\sum_{k=1}^n \vec h_k\cdot \vec h_{k+1} ]

であり、（1） より

[ S_n =-\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac{n-1}{n}\right)^k ]

と書ける。ここで

[ r=\frac{n-1}{n}=1-\frac1n ]

とおくと、

[ S_n=-\frac1n\sum_{k=1}^n r^k ]

であり、等比数列の和より

[ S_n =-\frac1n\cdot \frac{r(1-r^n)}{1-r} ]

となる。ところが

[ 1-r=\frac1n ]

であるから、

[ S_n=-r(1-r^n) ]

すなわち

[ S_n =-\left(1-\frac1n\right)\left\{1-\left(1-\frac1n\right)^n\right\} ]

を得る。

ここで

[ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=e^{-1} ]

であるから、

[ \lim_{n\to\infty}S_n =-1\cdot (1-e^{-1}) =\frac1e-1 ]

となる。

解説

この問題の本質は、各点が直線 (OA_1) と直線 (OA_2) の間を正射影で行き来していることにある。したがって、点列は複雑に見えても、実際には

• 奇数番目の点はすべて直線 (OA_1) 上
• 偶数番目の点はすべて直線 (OA_2) 上
• (O) からの距離は毎回 (\cos\theta) 倍

という単純な構造をもつ。

したがって、座標で各点を明示してしまえば、内積は機械的に計算でき、和も等比数列に落ちる。見かけより整理型の問題である。

答え

[

\textbf{(1)}\qquad

\vec h_k\cdot \vec h_{k+1}

=-\frac1n\left(\frac{n-1}{n}\right)^k

]

[

\textbf{(2)}\qquad

\lim_{n\to\infty}S_n=\frac1e-1

]