解説

方針・初手

$|\sin t|$ は周期 $\pi$ の関数である。指数関数 $e^{-t}$ があるので、区間 $[0,\pi]$ での積分を求め、あとは等比級数として処理する。

解法1

求める極限は、広義積分

$$ \int_0^\infty |\sin t|e^{-t},dt

$$

に等しい。ここで $|\sin t|$ は周期 $\pi$ をもつので、各区間 $[n\pi,(n+1)\pi]$ に分ける。

$n=0,1,2,\dots$ とし、$t=n\pi+u$ とおくと、$0\leq u\leq \pi$ で

$$ |\sin(n\pi+u)|=\sin u

$$

である。また、

$$ e^{-t}=e^{-(n\pi+u)}=e^{-n\pi}e^{-u}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|e^{-t},dt &= e^{-n\pi}\int_0^\pi \sin u,e^{-u},du \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^\infty |\sin t|e^{-t},dt &= \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\pi}\int_0^\pi \sin u,e^{-u},du \end{aligned} $$

である。

まず

$$ \int_0^\pi \sin u,e^{-u},du

$$

を計算する。原始関数は

$$ \begin{aligned} \int e^{-u}\sin u,du &= -\frac{1}{2}e^{-u}(\sin u+\cos u) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{-u}\sin u,du &= \left[-\frac{1}{2}e^{-u}(\sin u+\cos u)\right]_0^\pi \\ &= -\frac{1}{2}e^{-\pi}(0-1) &=

\left\{-\frac{1}{2}(0+1)\right\} \\ &= \frac{e^{-\pi}}{2}+\frac{1}{2} \\ &= \frac{1+e^{-\pi}}{2} \end{aligned}

$$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^\infty |\sin t|e^{-t},dt &= \frac{1+e^{-\pi}}{2} \sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\pi} \\ &= \frac{1+e^{-\pi}}{2}\cdot \frac{1}{1-e^{-\pi}} \\ &= \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} \end{aligned}

$$

である。

分子分母に $e^\pi$ をかけると、

$$ \begin{aligned} \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} &= \frac{e^\pi+1}{2(e^\pi-1)} \end{aligned} $$

となる。

解法2

求める値を

$$ I=\int_0^\infty |\sin t|e^{-t},dt

$$

とおく。

最初の区間 $[0,\pi]$ とそれ以降に分けると、

$$ I= \int_0^\pi \sin t,e^{-t},dt + \int_\pi^\infty |\sin t|e^{-t},dt

$$

である。

第2項で $t=u+\pi$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \int_\pi^\infty |\sin t|e^{-t},dt &= \int_0^\infty |\sin(u+\pi)|e^{-(u+\pi)},du \\ &= e^{-\pi}\int_0^\infty |\sin u|e^{-u},du \\ &= e^{-\pi}I \end{aligned}

$$

となる。したがって、

$$ I= \int_0^\pi \sin t,e^{-t},dt+e^{-\pi}I

$$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \sin t,e^{-t},dt &= \frac{1+e^{-\pi}}{2} \end{aligned} $$

だから、

$$ I= \frac{1+e^{-\pi}}{2}+e^{-\pi}I

$$

となる。よって、

$$ (1-e^{-\pi})I=\frac{1+e^{-\pi}}{2}

$$

より、

$$ \begin{aligned} I= \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} &= \frac{e^\pi+1}{2(e^\pi-1)} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、$|\sin t|$ の周期が $\pi$ であることに気づく点である。$e^{-t}$ がついているため、各周期ごとの積分値は同じではなく、$e^{-\pi}$ 倍ずつ小さくなる。したがって、全体は等比級数として処理できる。

解法1は区間ごとに和をとる標準的な解法である。解法2は、積分全体を $I$ とおき、周期性を使って自己相似的に方程式を作る方法で、計算量が少ない。

答え

$$ \boxed{\frac{e^\pi+1}{2(e^\pi-1)}}

$$