解説

方針・初手

$c_n$ は積分で定義されているので、まず部分積分により $c_{n+2}$ を $c_n$ で表す。

また、極限では

$$ c_n+1=(n+1)\int_0^1 x^n(1+\cos \pi x),dx

$$

と変形すると、$x=1$ の近くの挙動だけを見ればよい。

解法1

まず

$$ I_n=\int_0^1 x^n\cos \pi x,dx

$$

とおく。このとき $c_n=(n+1)I_n$ である。

$ I_{n+2}$ を部分積分する。

$$ \begin{aligned} I_{n+2} &=\int_0^1 x^{n+2}\cos \pi x,dx \\ &=\left[\frac{x^{n+2}\sin \pi x}{\pi}\right]_0^1-\frac{n+2}{\pi}\int_0^1 x^{n+1}\sin \pi x,dx \\ &=-\frac{n+2}{\pi}\int_0^1 x^{n+1}\sin \pi x,dx. \end{aligned}

$$

さらに

$$ \begin{aligned} \int_0^1 x^{n+1}\sin \pi x,dx &=\left[-\frac{x^{n+1}\cos \pi x}{\pi}\right]_0^1+\frac{n+1}{\pi}\int_0^1 x^n\cos \pi x,dx \\ &=\frac{1}{\pi}+\frac{n+1}{\pi}I_n. \end{aligned}

$$

よって

$$ I_{n+2} =-\frac{n+2}{\pi}\left(\frac{1}{\pi}+\frac{n+1}{\pi}I_n\right) =-\frac{n+2}{\pi^2}{1+(n+1)I_n}.

$$

ここで $c_n=(n+1)I_n$ だから、

$$ I_{n+2}=-\frac{n+2}{\pi^2}(1+c_n).

$$

したがって

$$ c_{n+2}=(n+3)I_{n+2} =-\frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2}(1+c_n).

$$

よって求める関係は

$$ c_{n+2}=-\frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2}(c_n+1)

$$

である。

次に極限を求める。

$$ \begin{aligned} c_n+1 &=(n+1)\int_0^1 x^n\cos \pi x,dx+1 \\ &=(n+1)\int_0^1 x^n\cos \pi x,dx+(n+1)\int_0^1 x^n,dx \\ &=(n+1)\int_0^1 x^n(1+\cos \pi x),dx. \end{aligned}

$$

ここで $t=1-x$ とおくと、$x=1-t$ であり、

$$ 1+\cos \pi x=1+\cos \pi(1-t)=1-\cos \pi t

$$

である。したがって

$$ c_n+1=(n+1)\int_0^1 (1-t)^n(1-\cos \pi t),dt.

$$

$0\leq t\leq 1$ に対して

$$ 0\leq 1-\cos \pi t\leq \frac{\pi^2t^2}{2}

$$

が成り立つので、

$$ 0\leq c_n+1\leq \frac{\pi^2}{2}(n+1)\int_0^1 (1-t)^nt^2,dt.

$$

ここで

$$ \int_0^1 (1-t)^nt^2,dt=\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}

$$

であるから、

$$ 0\leq c_n+1\leq \frac{\pi^2}{(n+2)(n+3)}.

$$

右辺は $n\to\infty$ で $0$ に近づく。よってはさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}(c_n+1)=0

$$

である。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}c_n=-1.

$$

よって $c=-1$ である。

最後に

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}-c}{c_n-c} =\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}+1}{c_n+1}

$$

を求める。

先ほどと同じく

$$ c_n+1=(n+1)\int_0^1 (1-t)^n(1-\cos \pi t),dt

$$

である。

$t=0$ の近くで

$$ 1-\cos \pi t=\frac{\pi^2}{2}t^2+O(t^4)

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} c_n+1 &=(n+1)\int_0^1 (1-t)^n\left(\frac{\pi^2}{2}t^2+O(t^4)\right),dt \\ &=\frac{\pi^2}{2}(n+1)\int_0^1 (1-t)^nt^2,dt +O\left((n+1)\int_0^1 (1-t)^nt^4,dt\right). \end{aligned}

$$

ここで

$$ (n+1)\int_0^1 (1-t)^nt^2,dt =\frac{2}{(n+2)(n+3)}

$$

であり、また

$$ (n+1)\int_0^1 (1-t)^nt^4,dt =\frac{24}{(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}

$$

である。よって

$$ c_n+1 =\frac{\pi^2}{(n+2)(n+3)}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).

$$

したがって

$$ c_{n+1}+1 =\frac{\pi^2}{(n+3)(n+4)}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).

$$

よって

$$ \begin{aligned} \frac{c_{n+1}+1}{c_n+1} &= \frac{\dfrac{\pi^2}{(n+3)(n+4)}+O\left(\dfrac{1}{n^4}\right)} {\dfrac{\pi^2}{(n+2)(n+3)}+O\left(\dfrac{1}{n^4}\right)} \\ &\to 1. \end{aligned}

$$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}-c}{c_n-c}=1.

$$

解説

この問題では、$c_n$ そのものよりも $c_n+1$ に注目することが重要である。

積分の重み $(n+1)x^n$ は $n$ が大きくなると $x=1$ の近くに集中する。したがって $\cos \pi x$ は $x=1$ における値 $-1$ に近づくため、$c_n\to -1$ となる。

さらに、$c_n+1$ の細かい大きさを調べるには、$x=1$ の近くで $t=1-x$ とおき、

$$ 1+\cos \pi x=1-\cos \pi t\sim \frac{\pi^2}{2}t^2

$$

を使う。このため $c_n+1$ はおよそ

$$ \frac{\pi^2}{(n+2)(n+3)}

$$

となり、連続する項の比は $1$ に近づく。

答え

**(1)**

$$ c_{n+2}=-\frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2}(c_n+1)

$$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}c_n=-1

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}-c}{c_n-c}=1

$$