解説

方針・初手

(1) は $x$ のまま扱うより、$t=\sqrt{x}$ とおくと

$$ \log(1+x)<\sqrt{x}

$$

を示す問題になる。微分して単調性を調べればよい。

(2) はまず曲線と $x$ 軸の交点を求め、囲まれた部分の面積を定積分で表す。最後に (1) を用いて $(a+1)^{2/a}\to 1$ を示す。

解法1

(1)

$x>0$ とし、$t=\sqrt{x}$ とおく。このとき $t>0,\ x=t^2$ であるから、示すべき不等式は

$$ \frac{\log(1+x)}{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}

$$

すなわち

$$ \log(1+t^2)<t

$$

である。

そこで

$$ F(t)=t-\log(1+t^2)

$$

とおく。すると

$$ F'(t)=1-\frac{2t}{1+t^2} =\frac{t^2-2t+1}{1+t^2} =\frac{(t-1)^2}{1+t^2}\geqq 0

$$

である。また

$$ F(0)=0

$$

である。

$F'(t)\geqq 0$ であり、しかも $F'(t)$ は区間全体で恒等的に $0$ ではないから、$t>0$ に対して

$$ F(t)>F(0)=0

$$

が成り立つ。よって

$$ t-\log(1+t^2)>0

$$

すなわち

$$ \log(1+t^2)<t

$$

である。

$t=\sqrt{x}$ に戻すと

$$ \log(1+x)<\sqrt{x}

$$

である。両辺を正の数 $x$ で割って、

$$ \frac{\log(x+1)}{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}

$$

が示された。

(2)

曲線は

$$ y=x-\frac{1}{a+1}x^{a+1}

$$

である。$x$ 軸との交点は $y=0$ より

$$ x-\frac{1}{a+1}x^{a+1}=0

$$

すなわち

$$ x\left(1-\frac{x^a}{a+1}\right)=0

$$

である。

$x>0$ の範囲では

$$ x^a=a+1

$$

より

$$ x=(a+1)^{1/a}

$$

を得る。

また、$0<x<(a+1)^{1/a}$ では

$$ x^a<a+1

$$

であるから

$$ 1-\frac{x^a}{a+1}>0

$$

となり、曲線は $x$ 軸の上側にある。したがって、囲まれた部分の面積は

$$ S(a)=\int_0^{(a+1)^{1/a}}\left(x-\frac{1}{a+1}x^{a+1}\right),dx

$$

である。

これを計算する。

$$ \begin{aligned} S(a) &=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{1}{a+1}\cdot\frac{x^{a+2}}{a+2}\right]_0^{(a+1)^{1/a}} \\ &=\frac{1}{2}(a+1)^{2/a} -\frac{1}{(a+1)(a+2)}(a+1)^{(a+2)/a} \end{aligned}

$$

ここで

$$ (a+1)^{(a+2)/a} =(a+1)^{1+2/a} =(a+1)(a+1)^{2/a}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} S(a) &=\frac{1}{2}(a+1)^{2/a} -\frac{1}{a+2}(a+1)^{2/a} \\ &=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{a+2}\right)(a+1)^{2/a} \\ &=\frac{a}{2(a+2)}(a+1)^{2/a} \end{aligned}

$$

となる。

次に極限を調べる。

$$ (a+1)^{2/a} =\exp\left(\frac{2\log(a+1)}{a}\right)

$$

である。

(1) において $x=a$ とおくと、$a>0$ より

$$ 0<\frac{\log(a+1)}{a}<\frac{1}{\sqrt{a}}

$$

である。したがって、はさみうちの原理より

$$ \lim_{a\to\infty}\frac{\log(a+1)}{a}=0

$$

である。

よって

$$ \lim_{a\to\infty}(a+1)^{2/a} =\exp(0)=1

$$

である。また

$$ \lim_{a\to\infty}\frac{a}{2(a+2)} =\frac{1}{2}

$$

だから、

$$ \lim_{a\to\infty}S(a) =\frac{1}{2}\cdot 1 =\frac{1}{2}

$$

である。

解説

(1) は $\log(1+x)$ と $\sqrt{x}$ の大小比較である。$t=\sqrt{x}$ とおくと、導関数が平方の形になるため、単調性で自然に処理できる。

(2) では、曲線と $x$ 軸の交点が

$$ x=(a+1)^{1/a}

$$

となることが重要である。面積を積分で表したあと、$x^a=a+1$ を使って式を整理すると

$$ S(a)=\frac{a}{2(a+2)}(a+1)^{2/a}

$$

まで簡単になる。

最後の極限では、(1) の不等式を $x=a$ に適用することで

$$ \frac{\log(a+1)}{a}\to 0

$$

が従う。これにより $(a+1)^{2/a}\to 1$ が分かる。

答え

**(1)**

$$ \frac{\log(x+1)}{x}<\frac{1}{\sqrt{x}} \quad (x>0)

$$

は成り立つ。

**(2)**

$$ \lim_{a\to\infty}S(a)=\frac{1}{2}

$$