解説

方針・初手

隣り合う2点に対応する放物線はすべて合同である。したがって、中心 $O$ と隣り合う2点で囲まれる1つ分の面積を求め、それを $n$ 倍すればよい。

隣り合う2点のなす中心角は $\dfrac{2\pi}{n}$ であるから、その半分を

$$ \alpha=\frac{\pi}{n}

$$

とおく。

解法1

1つの部分だけを考える。座標を回転して、対象となる2点を

$$ A=(\cos\alpha,-\sin\alpha),\qquad B=(\cos\alpha,\sin\alpha)

$$

とする。

簡単のため

$$ c=\cos\alpha,\qquad s=\sin\alpha

$$

とおく。このとき

$$ A=(c,-s),\qquad B=(c,s)

$$

である。

条件は $x$ 軸に関して対称なので、この放物線は $x$ 軸を軸とし、

$$ x=ay^2+b

$$

と表せる。

点 $B=(c,s)$ を通るので、

$$ c=as^2+b

$$

である。また、$B$ における接線は直線 $OB$ であり、その傾きは

$$ \frac{s}{c}

$$

である。

一方、$x=ay^2+b$ より

$$ \frac{dx}{dy}=2ay

$$

だから、$y=s$ における接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2as}

$$

である。よって

$$ \frac{1}{2as}=\frac{s}{c}

$$

となり、

$$ a=\frac{c}{2s^2}

$$

を得る。これを $c=as^2+b$ に代入すると、

$$ b=\frac{c}{2}

$$

である。

したがって、この放物線の方程式は

$$ x=\frac{c}{2}\left(1+\frac{y^2}{s^2}\right)

$$

である。

次に、この放物線と2本の半径 $OA,OB$ で囲まれる1つ分の面積を求める。

$0\le y\le s$ において、直線 $OB$ は

$$ x=\frac{c}{s}y

$$

である。よって、上半分の幅は

$$ \frac{c}{2}\left(1+\frac{y^2}{s^2}\right)-\frac{c}{s}y

$$

である。図形は $x$ 軸に関して対称なので、1つ分の面積を $A_n$ とすると、

$$ \begin{aligned} A_n &=2\int_0^s\left\{\frac{c}{2}\left(1+\frac{y^2}{s^2}\right)-\frac{c}{s}y\right\},dy\\ &=c\int_0^s\left(1+\frac{y^2}{s^2}-\frac{2y}{s}\right),dy\\ &=c\left[y+\frac{y^3}{3s^2}-\frac{y^2}{s}\right]_0^s\\ &=c\left(s+\frac{s}{3}-s\right)\\ &=\frac{cs}{3}. \end{aligned}

$$

したがって、全体の面積は

$$ S_n=nA_n=\frac{n}{3}\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}

$$

である。

倍角公式より、

$$ S_n=\frac{n}{6}\sin\frac{2\pi}{n}

$$

となる。ここで $x=\dfrac{2\pi}{n}$ とおくと、$n\to\infty$ のとき $x\to0$ であり、

$$ \sin x\sim x

$$

だから、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{6}\sin\frac{2\pi}{n} =\frac{1}{6}\cdot 2\pi =\frac{\pi}{3}.

$$

解説

この問題の核心は、放物線そのものを直接すべて扱うのではなく、回転対称性によって1つ分だけを計算することである。

また、隣り合う2点を $(c,-s),(c,s)$ と置くと、放物線は $x$ 軸対称になるため、$x=ay^2+b$ とおける。ここで接線条件を使うと、放物線の式がすぐに決まる。

面積計算では、放物線と半径で囲まれる1つ分を横方向に積分する。最後は

$$ S_n=\frac{n}{6}\sin\frac{2\pi}{n}

$$

まで整理できれば、標準極限 $\sin x\sim x$ によって極限が求まる。

答え

$$ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{\pi}{3}}

$$