解説

方針・初手

(1)では、$y=e^{-x}$ を上からの包絡線として考える。$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であるから、$y=e^{-x}\sin x$ は $x=0,\pi$ で $0$ となり、その間で正の値をとる。

(2)では、$|\sin x|$ が周期 $\pi$ で同じ形を繰り返すことを利用し、区間 $[0,n\pi]$ を長さ $\pi$ ごとに分ける。各区間で指数関数の部分だけが $e^{-k\pi}$ 倍になるので、等比数列の和に帰着する。

解法1

(1)について、関数

$$ y=e^{-x}\sin x

$$

を考える。

$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であり、また

$$ 0\leqq e^{-x}\sin x\leqq e^{-x}

$$

である。したがって、グラフは $x$ 軸の上側にあり、図に与えられた $y=e^{-x}$ のグラフより下側にある。

端点では

$$ y(0)=e^0\sin 0=0,\qquad y(\pi)=e^{-\pi}\sin \pi=0

$$

である。

また、増減を調べるために微分すると、

$$ \frac{d}{dx}\left(e^{-x}\sin x\right) =e^{-x}(\cos x-\sin x)

$$

である。$e^{-x}>0$ より、極値は

$$ \cos x-\sin x=0

$$

すなわち

$$ \tan x=1

$$

を満たす点で生じる。$0\leqq x\leqq \pi$ では

$$ x=\frac{\pi}{4}

$$

である。

したがって、$y=e^{-x}\sin x$ は $0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4}$ で増加し、$\frac{\pi}{4}\leqq x\leqq \pi$ で減少する。最大値は

$$ e^{-\frac{\pi}{4}}\sin \frac{\pi}{4} =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}

$$

である。

よって、グラフは $(0,0)$ から出発して、$x=\frac{\pi}{4}$ で最大値 $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}$ をとり、その後減少して $(\pi,0)$ に戻る曲線である。全体は $x$ 軸の上側、かつ $y=e^{-x}$ の下側にある。

次に(2)を考える。

$$ I_n=\int_0^{n\pi}e^{-x}|\sin x|,dx

$$

である。区間を

$$ [0,\pi],[\pi,2\pi],\ldots,[(n-1)\pi,n\pi]

$$

に分けると、

$$ I_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-x}|\sin x|,dx

$$

となる。

ここで、各積分において

$$ x=k\pi+t\qquad (0\leqq t\leqq \pi)

$$

とおく。このとき

$$ |\sin(k\pi+t)|=\sin t

$$

であり、

$$ e^{-x}=e^{-(k\pi+t)}=e^{-k\pi}e^{-t}

$$

である。したがって、

$$ \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-x}|\sin x|,dx =e^{-k\pi}\int_0^\pi e^{-t}\sin t,dt

$$

となる。

ここで

$$ \int e^{-t}\sin t,dt =\frac{e^{-t}(-\sin t-\cos t)}{2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{-t}\sin t,dt &=\left[\frac{e^{-t}(-\sin t-\cos t)}{2}\right]_0^\pi\\ &=\frac{e^{-\pi}}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\\ &=\frac{1+e^{-\pi}}{2} \end{aligned}

$$

である。

よって、

$$ I_n=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-k\pi}\cdot \frac{1+e^{-\pi}}{2}

$$

となる。これは初項 $1$、公比 $e^{-\pi}$ の等比数列の和を含むので、

$$ \begin{aligned} I_n &=\frac{1+e^{-\pi}}{2}\sum_{k=0}^{n-1}e^{-k\pi}\\ &=\frac{1+e^{-\pi}}{2}\cdot \frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}} \end{aligned}

$$

である。

ここで $0<e^{-\pi}<1$ だから、

$$ \lim_{n\to\infty}e^{-n\pi}=0

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}I_n &= \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$|\sin x|$ の周期性と、指数関数 $e^{-x}$ による減衰を組み合わせる点にある。

$|\sin x|$ は長さ $\pi$ ごとに同じ形を繰り返すが、$e^{-x}$ は区間が $\pi$ 進むたびに $e^{-\pi}$ 倍される。そのため、積分全体は等比数列の和として処理できる。

(1)のグラフでは、$y=e^{-x}\sin x$ が $y=e^{-x}$ の下側にあることと、$x=0,\pi$ で $0$ になることを押さえるのが重要である。最大点は微分により $x=\frac{\pi}{4}$ と分かる。

答え

**(1)**

$y=e^{-x}\sin x$ のグラフは、$(0,0)$ から出発し、$x=\frac{\pi}{4}$ で最大値

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}

$$

をとり、その後減少して $(\pi,0)$ に戻る。グラフ全体は $x$ 軸の上側、かつ $y=e^{-x}$ の下側にある。

**(2)**

$$ \begin{aligned} I_n &= \frac{1+e^{-\pi}}{2}\cdot \frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}I_n &= \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} \end{aligned} $$