解説

方針・初手

共有点の $x$ 座標を $t$ とおき、まず「点が共通である条件」と「接線の傾きが等しい条件」を立てる。

双曲線 $xy=1$ は $y=\dfrac{1}{x}$ と見ればよい。曲線 $y=ax(1-x)^{2n}$ との共有点で接線が一致するためには、同じ $x=t$ において関数値と微分係数がともに一致すればよい。

解法1

共有点の $x$ 座標を $t$ とする。双曲線は $y=\dfrac{1}{x}$ であるから、$t\neq 0$ であり、共有点である条件は

$$ at(1-t)^{2n}=\frac{1}{t}

$$

である。したがって

$$ a(1-t)^{2n}=\frac{1}{t^2}

$$

を得る。

次に、接線の傾きが等しい条件を考える。双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の微分係数は

$$ -\frac{1}{x^2}

$$

である。

一方、

$$ y=ax(1-x)^{2n}

$$

を微分すると、

$$ \begin{aligned} y' &=a(1-x)^{2n}+ax\cdot 2n(1-x)^{2n-1}(-1)\\ &=a(1-x)^{2n-1}{(1-x)-2nx}\\ &=a(1-x)^{2n-1}{1-(2n+1)x} \end{aligned}

$$

となる。

よって、$x=t$ において傾きが等しい条件は

$$ a(1-t)^{2n-1}{1-(2n+1)t}=-\frac{1}{t^2}

$$

である。

ここで、共有点の条件

$$ a(1-t)^{2n}=\frac{1}{t^2}

$$

を用いる。ただし $t=1$ なら左辺の曲線の値は $0$ となり、双曲線上の点にはならないので、$t\neq 1$ である。したがって割り算してよい。

$$ \frac{1-(2n+1)t}{1-t}=-1

$$

これを解くと、

$$ 1-(2n+1)t=-1+t

$$

より、

$$ 2=(2n+2)t

$$

したがって

$$ t=\frac{1}{n+1}

$$

である。

これを共有点の条件

$$ a(1-t)^{2n}=\frac{1}{t^2}

$$

に代入する。

$$ 1-t=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}

$$

また、

$$ \frac{1}{t^2}=(n+1)^2

$$

であるから、

$$ a\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}=(n+1)^2

$$

よって

$$ a=(n+1)^2\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}

$$

すなわち

$$ a=(n+1)^2\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}

$$

である。

次に面積 $S_n$ を求める。$a>0$ であり、曲線 $y=ax(1-x)^{2n}$ は $x=0,1$ で $x$ 軸と交わる。$0\leq x\leq 1$ では $x\geq 0$ かつ $(1-x)^{2n}\geq 0$ であるから、曲線は $x$ 軸の上側にある。

したがって、求める面積は

$$ S_n=\int_0^1 ax(1-x)^{2n},dx

$$

である。

ここで

$$ \int_0^1 x(1-x)^{2n},dx

$$

を計算する。$u=1-x$ とおくと、$x=1-u$ であり、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 x(1-x)^{2n},dx &=\int_0^1 (1-u)u^{2n},du\\ &=\int_0^1 u^{2n},du-\int_0^1 u^{2n+1},du\\ &=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\\ &=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \end{aligned}

$$

となる。

よって

$$ S_n=\frac{a}{(2n+1)(2n+2)}

$$

である。先ほど求めた $a$ を代入すると、

$$ S_n=\frac{(n+1)^2\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}{(2n+1)(2n+2)}

$$

である。

ここで $2n+2=2(n+1)$ だから、

$$ S_n=\frac{n+1}{2(2n+1)}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}

$$

と変形できる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &= \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2(2n+1)} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n} \end{aligned} $$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(2n+1)} &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$

また、問題文で与えられた

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

$$

より、

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=e^2

$$

である。

ゆえに

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{e^2}{4}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、共有点における接線の一致を「関数値の一致」と「微分係数の一致」に分けて処理することである。

共有点の $x$ 座標を $t$ とおくと、関数値の一致から

$$ a(1-t)^{2n}=\frac{1}{t^2}

$$

が得られる。これを傾きの一致条件に代入して $a$ を消去すると、$t$ が先に決まる。この順序で進めると計算がかなり簡単になる。

面積の計算では、曲線と $x$ 軸で囲まれる部分が $0\leq x\leq 1$ にあることを確認してから積分する必要がある。積分自体は

$$ \int_0^1 x(1-x)^{2n},dx

$$

の形で、置換 $u=1-x$ により基本的なべき関数の積分に帰着できる。

答え

**(1)**

$$ a=(n+1)^2\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}

$$

**(2)**

$$ S_n=\frac{n+1}{2(2n+1)}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}

$$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{e^2}{4}

$$