基礎問題集
数学3 積分法「接線・極限との複合」の問題10 解説
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解説
方針・初手
関数 $y=(x-a)^2e^x$ は、指数部分 $e^x$ が常に正であるため、増減や接線条件は多項式部分の符号に帰着できる。
まず微分して極値を求める。次に、接線が原点を通る条件を接線の方程式から立て、最後に定積分を計算する。
解法1
関数
$$ y=(x-a)^2e^x
$$
を微分すると、
$$ \begin{aligned} y' &=2(x-a)e^x+(x-a)^2e^x\\ &=(x-a){2+(x-a)}e^x\\ &=(x-a)(x-a+2)e^x \end{aligned}
$$
である。
よって、極値をとる候補は
$$ x=a,\quad x=a-2
$$
である。$e^x>0$ なので、$y'$ の符号は $(x-a)(x-a+2)$ の符号で決まる。
符号変化を調べると、$x=a-2$ で $+$ から $-$ に変わるので極大、$x=a$ で $-$ から $+$ に変わるので極小である。
したがって、
$$ y(a-2)=(-2)^2e^{a-2}=4e^{a-2}
$$
また、
$$ y(a)=0
$$
である。
よって、
$$ [ア]=a-2,\quad [イ]=4e^{a-2},\quad [ウ]=a,\quad [エ]=0
$$
である。
次に、曲線上の点 $(x_0,y_0)$ における接線の傾きを考える。
上で求めた導関数より、
$$ y'(x_0)=(x_0-a)(x_0-a+2)e^{x_0}
$$
であるから、
$$ [オ]=x_0-a+2
$$
である。
接線が原点を通る条件を求める。接線の方程式は
$$ y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)
$$
である。これが原点 $(0,0)$ を通るから、
$$ -y_0=-x_0y'(x_0)
$$
すなわち
$$ y_0=x_0y'(x_0)
$$
である。
ここで
$$ y_0=(x_0-a)^2e^{x_0}
$$
かつ
$$ y'(x_0)=(x_0-a)(x_0-a+2)e^{x_0}
$$
なので、
$$ (x_0-a)^2e^{x_0}=x_0(x_0-a)(x_0-a+2)e^{x_0}
$$
となる。$e^{x_0}>0$ よりこれを消去すると、
$$ (x_0-a)^2=x_0(x_0-a)(x_0-a+2)
$$
である。右辺を左辺へ整理するより、
$$ (x_0-a){x_0(x_0-a+2)-(x_0-a)}=0
$$
すなわち
$$ (x_0-a){x_0^2-(a-1)x_0+a}=0
$$
である。
したがって、
$$ [カ]=x_0^2-(a-1)x_0+a
$$
である。
ここで、$x_0=a$ は常に解であり、このとき接点は $(a,0)$、接線は $y=0$ である。この接線は原点を通る。
原点を通る接線がちょうど $1$ 本になるためには、これ以外の接線が存在しなければよい。したがって、二次方程式
$$ x_0^2-(a-1)x_0+a=0
$$
が実数解をもたなければよい。
判別式を $D$ とすると、
$$ \begin{aligned} D &=(-(a-1))^2-4\cdot 1\cdot a\\ &=(a-1)^2-4a\\ &=a^2-6a+1 \end{aligned}
$$
である。実数解をもたない条件は
$$ a^2-6a+1<0
$$
である。
これを解くと、
$$ 3-2\sqrt{2}<a<3+2\sqrt{2}
$$
となる。よって、
$$ [キ]=3-2\sqrt{2}<a<3+2\sqrt{2}
$$
である。
最後に、定積分
$$ \int_0^a (x-a)^2e^x,dx
$$
を求める。
部分積分の結果として、
$$ \int (x-a)^2e^x,dx=e^x{(x-a)^2-2(x-a)+2}+C
$$
である。実際、右辺を微分すると
$$ e^x{(x-a)^2-2(x-a)+2}+e^x{2(x-a)-2}=e^x(x-a)^2
$$
となる。
したがって、
$$ \begin{aligned} \int_0^a (x-a)^2e^x,dx &=\left[e^x{(x-a)^2-2(x-a)+2}\right]_0^a\\ &=2e^a-{a^2+2a+2} \end{aligned}
$$
である。
よって、
$$ [ク]=2e^a-a^2-2a-2
$$
である。
解説
この問題の中心は、$e^x>0$ を利用して、符号や方程式の本質を多項式部分に落とし込むことである。
極値では、微分して得られる
$$ y'=(x-a)(x-a+2)e^x
$$
から、$e^x$ ではなく $(x-a)(x-a+2)$ の符号だけを見ればよい。
接線条件では、接線が原点を通ることを
$$ y_0=x_0y'(x_0)
$$
と表すのが重要である。ここから必ず
$$ (x_0-a){x_0^2-(a-1)x_0+a}=0
$$
という形になり、$x_0=a$ に対応する接線 $y=0$ が常に存在することを見落としてはいけない。
そのうえで、原点を通る接線が $1$ 本だけになるには、残りの二次方程式が実数解をもたないことが必要十分である。
答え
**(1)**
$$ [ア]=a-2,\quad [イ]=4e^{a-2},\quad [ウ]=a,\quad [エ]=0
$$
**(2)**
$$ [オ]=x_0-a+2
$$
$$ [カ]=x_0^2-(a-1)x_0+a
$$
$$ [キ]=3-2\sqrt{2}<a<3+2\sqrt{2}
$$
**(3)**
$$ [ク]=2e^a-a^2-2a-2
$$