解説

方針・初手

$f(x)$ は定積分で定義されているので、まず微分して接線の傾きを求める。法線は接線と垂直であるから、傾きは接線の傾きの負の逆数になる。

面積は、$f(x)$ のグラフと法線が接する点 $x=1$ を境に、$0 \leqq x \leqq 1$ では曲線の下の面積、$1 \leqq x \leqq 1+\dfrac{\pi}{8}$ では法線の下の面積として分けて求める。

解法1

まず、

$$ f(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2},dt

$$

より、微分積分学の基本定理から

$$ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}

$$

である。

$x=1$ における接点の座標を求めると、

$$ f(1)=\int_0^1 \frac{1}{1+t^2},dt=\left[\arctan t\right]_0^1=\frac{\pi}{4}

$$

であるから、接点は

$$ \left(1,\frac{\pi}{4}\right)

$$

である。

また、

$$ f'(1)=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}

$$

より、接線の傾きは $\dfrac{1}{2}$ である。したがって、法線の傾きは

$$ -2

$$

である。

よって、$x=1$ における法線の方程式は

$$ y-\frac{\pi}{4}=-2(x-1)

$$

すなわち

$$ y=-2x+2+\frac{\pi}{4}

$$

である。

次に、この法線と $x$ 軸との交点を求める。$y=0$ とすると、

$$ 0=-2x+2+\frac{\pi}{4}

$$

より、

$$ x=1+\frac{\pi}{8}

$$

である。

また、$f(0)=0$ であるから、$y=f(x)$ のグラフは原点を通る。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 f(x),dx+\int_1^{1+\frac{\pi}{8}}\left(-2x+2+\frac{\pi}{4}\right),dx

$$

である。

ここで、

$$ f(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2},dt=\arctan x

$$

だから、

$$ \int_0^1 f(x),dx=\int_0^1 \arctan x,dx

$$

である。部分積分を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \arctan x,dx &=\left[x\arctan x\right]_0^1-\int_0^1 \frac{x}{1+x^2},dx \\ &=\frac{\pi}{4}-\left[\frac{1}{2}\log(1+x^2)\right]_0^1 \\ &=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}

$$

となる。

また、法線と $x$ 軸で囲まれる部分は、底辺

$$ \left(1+\frac{\pi}{8}\right)-1=\frac{\pi}{8}

$$

高さ

$$ \frac{\pi}{4}

$$

の三角形であるから、その面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{8}\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{64}

$$

である。

したがって、求める面積は

$$ S=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2+\frac{\pi^2}{64}

$$

である。

解説

この問題では、定積分で定義された関数を見たら、まず微分積分学の基本定理により $f'(x)$ を求めるのが初手である。

また、$f(x)=\arctan x$ と分かるので、面積計算では $\int \arctan x,dx$ を部分積分で処理する。法線と $x$ 軸で囲まれる部分は三角形として扱えるため、積分で計算するより簡潔である。

注意すべき点は、法線だけで囲まれる範囲を取り違えないことである。曲線 $y=f(x)$ は原点を通り、法線は $x=1$ で曲線と接し、さらに $x=1+\dfrac{\pi}{8}$ で $x$ 軸と交わる。したがって面積は、$0 \leqq x \leqq 1$ の曲線下の面積と、$1 \leqq x \leqq 1+\dfrac{\pi}{8}$ の法線下の面積に分ける。

答え

**(1)**

$$ y=-2x+2+\frac{\pi}{4}

$$

**(2)**

$$ \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2+\frac{\pi^2}{64}

$$