解説

方針・初手

接線は、曲線上の接点を $x=a$ とおいて求める。曲線 $C$ は

$$ y=\log(2x)

$$

であり、導関数は

$$ y'=\frac{1}{x}

$$

である。接線が点 $(0,1)$ を通る条件から $a$ を決める。

面積は、曲線、接線、$x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる領域を考える。曲線は $x$ 軸と $x=\frac{1}{2}$ で交わり、接線は $y$ 軸と $(0,1)$ で交わるので、積分区間を分けて面積を求める。

解法1

接点を

$$ (a,\log(2a)) \quad (a>0)

$$

とする。

この点における接線の傾きは

$$ \frac{1}{a}

$$

であるから、接線の方程式は

$$ y-\log(2a)=\frac{1}{a}(x-a)

$$

すなわち

$$ y=\frac{x}{a}+\log(2a)-1

$$

である。

この接線が点 $(0,1)$ を通るので、

$$ 1=\log(2a)-1

$$

より

$$ \log(2a)=2

$$

となる。したがって

$$ 2a=e^2

$$

より

$$ a=\frac{e^2}{2}

$$

である。

よって接線 $l$ の傾きは

$$ \frac{1}{a}=\frac{2}{e^2}

$$

であり、点 $(0,1)$ を通るから

$$ l:\ y=\frac{2}{e^2}x+1

$$

である。

次に面積を求める。

曲線 $C$ と $x$ 軸の交点は

$$ \log(2x)=0

$$

より

$$ x=\frac{1}{2}

$$

である。

また、接点の $x$ 座標は

$$ x=\frac{e^2}{2}

$$

である。

求める面積を $S$ とする。$0\leqq x\leqq \frac{1}{2}$ では、領域は $x$ 軸と接線にはさまれる。$\frac{1}{2}\leqq x\leqq \frac{e^2}{2}$ では、領域は接線と曲線にはさまれる。

したがって

$$ S=\int_0^{1/2}\left(\frac{2}{e^2}x+1\right),dx+\int_{1/2}^{e^2/2}\left(\frac{2}{e^2}x+1-\log(2x)\right),dx

$$

である。

まず

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/2}\left(\frac{2}{e^2}x+1\right),dx &= \left[\frac{x^2}{e^2}+x\right]_0^{1/2} \\ \frac{1}{4e^2}+\frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。

次に

$$ \begin{aligned} \int_{1/2}^{e^2/2}\left(\frac{2}{e^2}x+1\right),dx &= \left[\frac{x^2}{e^2}+x\right]_{1/2}^{e^2/2} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \left[\frac{x^2}{e^2}+x\right]_{1/2}^{e^2/2} &= \frac{3e^2}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4e^2} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \int \log(2x),dx=x\log(2x)-x

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{1/2}^{e^2/2}\log(2x),dx &= \left[x\log(2x)-x\right]_{1/2}^{e^2/2} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \left[x\log(2x)-x\right]_{1/2}^{e^2/2} &= \frac{e^2}{2}+\frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1}{2}+\frac{1}{4e^2} +\left(\frac{3e^2}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4e^2}\right) -\left(\frac{e^2}{2}+\frac{1}{2}\right)\\ &=\frac{e^2}{4}-\frac{1}{2} \end{aligned}

$$

である。

解法2

面積を $y$ について積分しても求められる。

曲線

$$ y=\log(2x)

$$

を $x$ について解くと

$$ x=\frac{e^y}{2}

$$

である。

接線

$$ y=\frac{2}{e^2}x+1

$$

を $x$ について解くと

$$ x=\frac{e^2}{2}(y-1)

$$

である。

囲まれた領域は、$0\leqq y\leqq 1$ では左端が $y$ 軸、右端が曲線である。したがって横幅は

$$ \frac{e^y}{2}

$$

である。

また、$1\leqq y\leqq 2$ では左端が接線、右端が曲線である。したがって横幅は

$$ \frac{e^y}{2}-\frac{e^2}{2}(y-1)

$$

である。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 \frac{e^y}{2},dy+\int_1^2\left\{\frac{e^y}{2}-\frac{e^2}{2}(y-1)\right\},dy

$$

である。

これを計算すると、

$$ \int_0^1 \frac{e^y}{2},dy=\frac{e-1}{2}

$$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_1^2\left\{\frac{e^y}{2}-\frac{e^2}{2}(y-1)\right\},dy &= \frac{e^2-e}{2}-\frac{e^2}{4} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=\frac{e-1}{2}+\frac{e^2-e}{2}-\frac{e^2}{4}\\ &=\frac{e^2}{4}-\frac{1}{2} \end{aligned}

$$

となる。

解説

接線を求める問題では、接点を直接置くのが基本である。外部の点 $(0,1)$ から引いた接線なので、接点の座標を $a$ で置き、その接線が $(0,1)$ を通る条件を使えばよい。

面積では、曲線 $y=\log(2x)$ が $y$ 軸とは交わらない点に注意する。領域の境界には $y$ 軸が含まれるが、曲線は $x=\frac{1}{2}$ で $x$ 軸と交わってから接点まで続く。そのため、$x$ で積分する場合は $0\leqq x\leqq \frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2}\leqq x\leqq \frac{e^2}{2}$ に分ける必要がある。

一方、$y$ で積分すると、境界の切り替わりが $y=1$ で表されるため、領域の形を把握しやすい。計算量も比較的少ない。

答え

**(1)**

$$ l:\ y=\frac{2}{e^2}x+1

$$

**(2)**

$$ \frac{e^2}{4}-\frac{1}{2}

$$