解説

方針・初手

曲線は $0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $x,y \geqq 0$ であるから、$x,y$ の関係式に直して扱うとよい。

$$ \sqrt{x}=\cos^2 t,\qquad \sqrt{y}=\sin^2 t

$$

より、

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1

$$

である。したがって曲線は

$$ y=(1-\sqrt{x})^2

$$

と表せる。

解法1

まず、$t=\dfrac{\pi}{6}$ に対応する点 $P$ を求める。

$$ x=\cos^4 \frac{\pi}{6}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4=\frac{9}{16}

$$

$$ y=\sin^4 \frac{\pi}{6}=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}

$$

よって、

$$ P\left(\frac{9}{16},\frac{1}{16}\right)

$$

である。

次に接線の傾きを求める。媒介変数表示より、

$$ \frac{dx}{dt}=-4\cos^3 t\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=4\sin^3 t\cos t

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \\ \frac{4\sin^3 t\cos t}{-4\cos^3 t\sin t} \\ -\tan^2 t \end{aligned} $$

となる。したがって $t=\dfrac{\pi}{6}$ における接線の傾きは

$$ -\tan^2\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{3}

$$

である。

よって、点 $P\left(\dfrac{9}{16},\dfrac{1}{16}\right)$ における接線は

$$ \begin{aligned} y-\frac{1}{16} &= -\frac{1}{3}\left(x-\frac{9}{16}\right) \end{aligned} $$

すなわち

$$ y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}

$$

である。これを整理すると、

$$ 4x+12y=3

$$

である。

次に面積を求める。

曲線は

$$ \begin{aligned} y=(1-\sqrt{x})^2 &= 1-2\sqrt{x}+x \end{aligned} $$

であり、接線は

$$ y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}

$$

である。

接線と $y$ 軸の交点は

$$ (0,\frac{1}{4})

$$

であり、曲線と $y$ 軸の交点は

$$ (0,1)

$$

である。また、曲線と接線は点 $P$ で接するので、囲まれる部分は $0 \leqq x \leqq \dfrac{9}{16}$ において、曲線と接線の間の部分である。

曲線と接線の差は

$$ \begin{aligned} (1-2\sqrt{x}+x)-\left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}\right) &= \frac{3}{4}-2\sqrt{x}+\frac{4}{3}x \end{aligned}

$$

である。$u=\sqrt{x}$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4}-2\sqrt{x}+\frac{4}{3}x &= \frac{4}{3}u^2-2u+\frac{3}{4} \\ \frac{1}{12}(4u-3)^2 \end{aligned} $$

となるので、この範囲で曲線が接線の上側にある。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S =

\int_0^{9/16} \left\{ \frac{3}{4}-2\sqrt{x}+\frac{4}{3}x \right\} dx

$$

である。

計算すると、

$$ \begin{aligned} S &= \left[ \frac{3}{4}x-\frac{4}{3}x^{3/2}+\frac{2}{3}x^2 \right]_0^{9/16} \\ &= \frac{3}{4}\cdot\frac{9}{16} -\frac{4}{3}\left(\frac{9}{16}\right)^{3/2} +\frac{2}{3}\left(\frac{9}{16}\right)^2 \end{aligned}

$$

ここで、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{9}{16}\right)^{3/2} &= \left(\frac{3}{4}\right)^3 \\ \frac{27}{64} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{27}{64} -\frac{4}{3}\cdot\frac{27}{64} +\frac{2}{3}\cdot\frac{81}{256} \\ &= \frac{27}{64} -\frac{9}{16} +\frac{27}{128} \\ &= \frac{54}{128} -\frac{72}{128} +\frac{27}{128} \\ &= \frac{9}{128} \end{aligned}

$$

よって、求める面積は

$$ \frac{9}{128}

$$

である。

解説

この曲線は媒介変数のまま扱うより、$0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $x,y \geqq 0$ であることを利用して

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1

$$

と直すと、面積計算が簡単になる。

接線の傾きは媒介変数表示の基本通り

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}

$$

で求める。面積では、$y$ 軸で囲まれるため、$x=0$ から接点の $x=\dfrac{9}{16}$ までの範囲で、曲線と接線の上下関係を確認して積分すればよい。

答え

**(1)**

$$ 4x+12y=3

$$

**(2)**

$$ \frac{9}{128}

$$