解説

方針・初手

$y=\cos x$ は $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で上に凸ではなく下に凸、すなわち $y''=-\cos x\leqq 0$ である。したがって、この区間では接線が曲線の上側にある。

よって、接線の方程式を求め、その接線と曲線 $y=\cos x$ の差を $x=0$ から $x=\dfrac{\pi}{2}$ まで積分すればよい。

解法1

点 $(t,\cos t)$ における $y=\cos x$ の接線を求める。

$y'=-\sin x$ より、$x=t$ における傾きは $-\sin t$ である。したがって接線の方程式は

$$ y=\cos t-\sin t(x-t)

$$

である。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $y=\cos x$ は上に凸でなく、接線は曲線の上側にあるので、面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\int_0^{\pi/2}{\cos t-\sin t(x-t)-\cos x},dx

$$

である。

これを計算する。

$$ \begin{aligned} S(t) &=\int_0^{\pi/2}{\cos t+t\sin t-x\sin t-\cos x},dx \\ &=\left(\cos t+t\sin t\right)\frac{\pi}{2} -\sin t\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 -\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} \\ &=\frac{\pi}{2}\cos t+\frac{\pi t}{2}\sin t-\frac{\pi^2}{8}\sin t-1. \end{aligned}

$$

したがって

$$ S(t)=\frac{\pi}{2}\cos t+\left(\frac{\pi t}{2}-\frac{\pi^2}{8}\right)\sin t-1

$$

である。

次に、$0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で最大値・最小値を調べる。

$$ \begin{aligned} S'(t) &=-\frac{\pi}{2}\sin t +\frac{\pi}{2}\sin t +\left(\frac{\pi t}{2}-\frac{\pi^2}{8}\right)\cos t \\ &=\left(\frac{\pi t}{2}-\frac{\pi^2}{8}\right)\cos t \\ &=\frac{\pi}{2}\left(t-\frac{\pi}{4}\right)\cos t. \end{aligned}

$$

$0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos t\geqq 0$ であるから、$S'(t)$ の符号は $t-\dfrac{\pi}{4}$ によって決まる。

よって

$$ 0\leqq t<\frac{\pi}{4}

$$

では $S'(t)<0$、

$$ \frac{\pi}{4}<t<\frac{\pi}{2}

$$

では $S'(t)>0$ である。

したがって、$S(t)$ は $t=\dfrac{\pi}{4}$ で最小となる。

最小値は

$$ \begin{aligned} S\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi^2}{8}\right)\sin\frac{\pi}{4} -1 \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi^2}{8}=0

$$

より、

$$ \begin{aligned} S\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-1 \\ \frac{\pi}{2\sqrt2}-1. \end{aligned} $$

次に最大値を調べる。$S(t)$ は $0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{4}$ で減少し、$\dfrac{\pi}{4}\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で増加するので、最大値は端点 $t=0,\dfrac{\pi}{2}$ のどちらかである。

まず

$$ S(0)=\frac{\pi}{2}-1.

$$

また、

$$ \begin{aligned} S\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{\pi^2}{8}-1. \end{aligned} $$

両者を比べると、$\pi<4$ より

$$ \frac{\pi}{2}>\frac{\pi^2}{8}

$$

である。したがって

$$ S(0)>S\left(\frac{\pi}{2}\right)

$$

である。

よって最大値は

$$ \frac{\pi}{2}-1

$$

である。

解説

この問題の中心は、接線と曲線で囲まれる面積を「接線の式 $-$ 曲線の式」の積分として表すことである。

$y=\cos x$ は $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $y''=-\cos x\leqq 0$ だから、グラフは上に凸であり、接線は曲線の上側にある。この確認をしないまま積分すると、面積の符号を誤る可能性がある。

また、$S(t)$ を求めた後は、$t$ に関する関数として微分する。計算すると途中の項が打ち消し合い、

$$ S'(t)=\frac{\pi}{2}\left(t-\frac{\pi}{4}\right)\cos t

$$

という単純な形になる。ここから単調性を調べれば、最小値は内部点、最大値は端点比較で決まる。

答え

最小値は、$t=\dfrac{\pi}{4}$ のとき

$$ \frac{\pi}{2\sqrt2}-1

$$

である。

最大値は、$t=0$ のとき

$$ \frac{\pi}{2}-1

$$

である。