解説

注意

画像では冒頭のただし書きが ${}_0C_0=0$ と読めるが、これは （2） の二項定理による積分表示、および （5） の $I(1)<I(0)$ と両立しない。以下では、二項係数の通常の規約 ${}_0C_0=1$ として解答する。

方針・初手

与えられた和は、$(1-y^2)^n$ を二項定理で展開してから $0$ から $1$ まで積分した形である。まず $I(n)$ を積分で表し、その後 $y=\sin x$ と置換して三角関数の積分に直す。

最後の単調性と極限は、$\cos x$ のべきの大小比較と、微分公式を積分することで処理する。

解法1

まず、（1） の値を直接計算する。

$$ I(n)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}{}_{n}\mathrm{C}_{k}

$$

であるから、

$$ I(0)=\frac{1}{1}{}_{0}\mathrm{C}_{0}=1

$$

である。

また、

$$ I(1)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}

$$

$$ I(2)=1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5} =\frac{15-10+3}{15} =\frac{8}{15}

$$

$$ I(3)=1-\frac{3}{3}+\frac{3}{5}-\frac{1}{7} =\frac{3}{5}-\frac{1}{7} =\frac{16}{35}

$$

次に、（2） を示す。

二項定理より、

$$ (1-y^2)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}(-y^2)^k =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}y^{2k}

$$

である。これを $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1(1-y^2)^n,dy &= \int_0^1 \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}y^{2k},dy \end{aligned} $$

有限和なので和と積分を入れ替えてよい。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1(1-y^2)^n,dy &= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\int_0^1y^{2k},dy \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} \int_0^1y^{2k},dy &= \left[\frac{y^{2k+1}}{2k+1}\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2k+1} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1(1-y^2)^n,dy &= \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}{}_{n}\mathrm{C}_{k} \\ &= I(n) \end{aligned} $$

よって、

$$ I(n)=\int_0^1(1-y^2)^n,dy

$$

である。

次に、（3） を示す。

$y=\sin x$ とおくと、$dy=\cos x,dx$ である。また、$y=0$ のとき $x=0$、$y=1$ のとき $x=\dfrac{\pi}{2}$ である。

さらに、

$$ 1-y^2=1-\sin^2x=\cos^2x

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1(1-y^2)^n,dy &= \int_0^{\pi/2}(\cos^2x)^n\cos x,dx \\ &= \int_0^{\pi/2}(\cos x)^{2n+1},dx \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ I(n)=\int_0^{\pi/2}(\cos x)^{2n+1},dx

$$

である。

次に、（4） を示す。

$n\geqq 1$ とする。積の微分法より、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}{(\cos x)^{2n}\sin x} &= \frac{d}{dx}(\cos x)^{2n}\cdot \sin x + (\cos x)^{2n}\cdot \frac{d}{dx}\sin x \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(\cos x)^{2n} &= -2n(\cos x)^{2n-1}\sin x \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}{(\cos x)^{2n}\sin x} &= -2n(\cos x)^{2n-1}\sin^2x + (\cos x)^{2n+1} \\ &= -2n(\cos x)^{2n-1}(1-\cos^2x) + (\cos x)^{2n+1} \\ &= -2n(\cos x)^{2n-1} + 2n(\cos x)^{2n+1} + (\cos x)^{2n+1} \\ &= (2n+1)(\cos x)^{2n+1} - 2n(\cos x)^{2n-1} \end{aligned}

$$

よって、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}{(\cos x)^{2n}\sin x} &= (2n+1)(\cos x)^{2n+1} - 2n(\cos x)^{2n-1} \end{aligned} $$

である。

最後に、（5） を示す。

$n\geqq 1$ とする。（3） より、

$$ I(n)=\int_0^{\pi/2}(\cos x)^{2n+1},dx

$$

また、

$$ I(n-1)=\int_0^{\pi/2}(\cos x)^{2n-1},dx

$$

である。

$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ では、

$$ 0<\cos x<1

$$

であるから、

$$ (\cos x)^{2n+1}<(\cos x)^{2n-1}

$$

が成り立つ。したがって、区間 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で積分すると、

$$ I(n)<I(n-1)

$$

である。

次に極限を求める。（4） の式を $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分する。

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{d}{dx}{(\cos x)^{2n}\sin x},dx &= \int_0^{\pi/2} \left\{ (2n+1)(\cos x)^{2n+1} - 2n(\cos x)^{2n-1} \right\},dx \end{aligned} $$

左辺は、

$$ \left[(\cos x)^{2n}\sin x\right]_0^{\pi/2}=0

$$

である。よって、

$$ 0=(2n+1)I(n)-2nI(n-1)

$$

したがって、

$$ (2n+1)I(n)=2nI(n-1)

$$

である。$I(n-1)>0$ なので両辺を $I(n-1)$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{I(n)}{I(n-1)} &= \frac{2n}{2n+1} \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{I(n)}{I(n-1)} &= \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n+1} \\ &= 1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、和の形を積分で解釈することである。分母の $2k+1$ は、

$$ \int_0^1y^{2k},dy=\frac{1}{2k+1}

$$

から現れるため、$(1-y^2)^n$ の二項展開と結びつけるのが自然である。

また、$1-y^2$ を $\cos^2x$ に変えるために $y=\sin x$ と置換することで、$I(n)$ は $\cos x$ の奇数乗の積分になる。この形に直すと、単調性は $\cos x$ のべきの大小比較で示せる。

極限については、直接評価するのではなく、与えられた微分公式を積分して $I(n)$ と $I(n-1)$ の漸化式を作るのが最短である。実際、

$$ \frac{I(n)}{I(n-1)}=\frac{2n}{2n+1}

$$

と正確に求まるため、極限はただちに $1$ となる。

答え

**(1)**

$$ I(0)=1,\qquad I(1)=\frac{2}{3},\qquad I(2)=\frac{8}{15},\qquad I(3)=\frac{16}{35}

$$

**(2)**

$$ I(n)=\int_0^1(1-y^2)^n,dy

$$

**(3)**

$$ I(n)=\int_0^{\pi/2}(\cos x)^{2n+1},dx

$$

**(4)**

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}{(\cos x)^{2n}\sin x} &= (2n+1)(\cos x)^{2n+1} - 2n(\cos x)^{2n-1} \end{aligned} $$

**(5)**

$n\geqq 1$ に対して、

$$ I(n)<I(n-1)

$$

また、

$$ \begin{aligned} \frac{I(n)}{I(n-1)} &= \frac{2n}{2n+1} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{I(n)}{I(n-1)}=1

$$