解説

方針・初手

（1） は、被積分関数が周期 $\pi$ をもつことを示せばよい。$f,g$ が偶関数であることにより、$\sin(x+\pi),\cos(x+\pi)$ の符号変化が打ち消される。

（2） は、前問を

$$ \frac{|\sin x|}{(1+\cos^2 x)^2}

$$

に適用し、変数変換 $t=nx$ によって積分区間 $[0,1]$ を $[0,n]$ に移す。

（3） は、（2） のはさみうちを用いる。最後に

$$ \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx

$$

を計算する。

解法1

**(1)**

$$ H(x)=f(\sin x)g(\cos x)

$$

とおく。$f,g$ は連続関数であるから、$H$ も連続関数である。

また、$f,g$ は偶関数なので、

$$ \begin{aligned} H(x+\pi) &=f(\sin(x+\pi))g(\cos(x+\pi))\\ &=f(-\sin x)g(-\cos x)\\ &=f(\sin x)g(\cos x)\\ &=H(x) \end{aligned}

$$

である。したがって、$H$ は周期 $\pi$ をもつ。

よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^{m\pi} f(\sin x)g(\cos x),dx &=\int_0^{m\pi} H(x),dx\\ &=\sum_{k=0}^{m-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}H(x),dx \end{aligned}

$$

となる。各積分で $x=u+k\pi$ とおくと、$H(u+k\pi)=H(u)$ であるから、

$$ \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}H(x),dx=\int_0^\pi H(u),du

$$

である。したがって、

$$ \int_0^{m\pi}H(x),dx =m\int_0^\pi H(x),dx

$$

すなわち、

$$ \begin{aligned} \int_0^{m\pi} f(\sin x)g(\cos x),dx &= m\int_0^\pi f(\sin x)g(\cos x),dx \end{aligned} $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \phi(x)=\frac{|\sin x|}{(1+\cos^2 x)^2}

$$

とおく。

ここで

$$ f(u)=|u|,\qquad g(v)=\frac{1}{(1+v^2)^2}

$$

とすれば、$f,g$ はともに連続な偶関数であり、

$$ \phi(x)=f(\sin x)g(\cos x)

$$

と書ける。したがって、（1） より、正の整数 $k$ に対して

$$ \begin{aligned} \int_0^{k\pi}\phi(x),dx &= k\int_0^\pi \phi(x),dx \end{aligned} $$

が成り立つ。

また、$0\leq x\leq \pi$ では $\sin x\geq 0$ なので、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \phi(x),dx &= \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx \end{aligned} $$

である。この値を

$$ A=\int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx

$$

とおく。

いま、求める積分を

$$ I_n=\int_0^1\frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2},dx

$$

とする。変数変換 $t=nx$ を行うと、

$$ \begin{aligned} I_n &= \frac{1}{n}\int_0^n\frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2},dt \\ \frac{1}{n}\int_0^n \phi(t),dt \end{aligned} $$

である。

条件より、

$$ m\pi\leq n < (m+1)\pi

$$

であり、また $\phi(t)\geq 0$ だから、

$$ \int_0^{m\pi}\phi(t),dt \leq \int_0^n\phi(t),dt \leq \int_0^{(m+1)\pi}\phi(t),dt

$$

である。前問の結果を用いると、

$$ mA \leq \int_0^n\phi(t),dt \leq (m+1)A

$$

となる。したがって、

$$ \frac{m}{n}A \leq I_n \leq \frac{m+1}{n}A

$$

である。

さらに、$n<(m+1)\pi$ より

$$ \frac{1}{n}>\frac{1}{(m+1)\pi}

$$

であり、$n\geq m\pi$ より

$$ \frac{1}{n}\leq \frac{1}{m\pi}

$$

である。よって、

$$ \frac{m}{(m+1)\pi}A \leq I_n \leq \frac{m+1}{m\pi}A

$$

すなわち、

$$ \frac{m}{(m+1)\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx \leq \int_0^1\frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2},dx \leq \frac{m+1}{m\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx

$$

が成り立つ。

**(3)**

（2） より、

$$ \frac{m}{(m+1)\pi}A \leq \int_0^1\frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2},dx \leq \frac{m+1}{m\pi}A

$$

である。

$n\to\infty$ のとき、条件

$$ m\pi\leq n < (m+1)\pi

$$

より $m\to\infty$ である。したがって、

$$ \frac{m}{(m+1)\pi}\to \frac{1}{\pi}, \qquad \frac{m+1}{m\pi}\to \frac{1}{\pi}

$$

である。よって、はさみうちの原理により、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2},dx &= \frac{A}{\pi} \end{aligned} $$

である。

あとは $A$ を計算する。

$$ A=\int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx

$$

において、$u=\cos x$ とおくと、$du=-\sin x,dx$ である。また、$x=0$ のとき $u=1$、$x=\pi$ のとき $u=-1$ であるから、

$$ A =

\int_{-1}^{1}\frac{1}{(1+u^2)^2},du

$$

となる。

ここで、

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{(1+u^2)^2},du &= \frac{1}{2}\left(\arctan u+\frac{u}{1+u^2}\right) \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} A &= \left[ \frac{1}{2}\left(\arctan u+\frac{u}{1+u^2}\right) \right]_{-1}^{1}\\ &= \frac{1}{2}\left\{ \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right) &=

\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right) \right\}\\ &= \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{A}{\pi} &= \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right) \\ \frac{1}{4}+\frac{1}{2\pi} \\ \frac{\pi+2}{4\pi} \end{aligned} $$

である。

解説

（1） の本質は、偶関数によって符号変化が消え、被積分関数が周期 $\pi$ になる点である。単に $\sin x,\cos x$ の周期を見るのではなく、$x\mapsto x+\pi$ で両方の符号が変わることを使う。

（2） では、積分区間 $[0,1]$ の中で振動する関数を、$t=nx$ によって $[0,n]$ 上の積分に直す。そこから $m\pi\leq n<(m+1)\pi$ を使い、周期 $\pi$ ごとの面積で上下から評価する。

（3） は、（2） の評価式の係数がどちらも $1/\pi$ に収束することを利用する。最後の積分計算では、$u=\cos x$ とおくことで有理関数の積分に帰着できる。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int_0^{m\pi} f(\sin x)g(\cos x),dx &= m\int_0^\pi f(\sin x)g(\cos x),dx \end{aligned} $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \frac{m}{(m+1)\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx \leq \int_0^1\frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2},dx \leq \frac{m+1}{m\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2},dx

$$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2},dx &= \frac{\pi+2}{4\pi} \end{aligned} $$