解説

方針・初手

積分

$$ I_n=\int_0^1 t^n e^{-t},dt

$$

とおくと、$a_n=\dfrac{I_n}{n!}$ である。まず $0\leq t\leq 1$ における $t^n$ の評価で積分をはさみ、次に部分積分で $I_{n+1}$ と $I_n$ の関係を作る。最後は漸化式を和にして望む級数表示を導く。

解法1

$$ I_n=\int_0^1 t^n e^{-t},dt

$$

とおく。

**(1)**

$0\leq t\leq 1$ では $0\leq t^n\leq 1$ であり、また $e^{-t}>0$ である。したがって

$$ 0\leq t^n e^{-t}\leq e^{-t}

$$

が成り立つ。これを $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ 0\leq \int_0^1 t^n e^{-t},dt\leq \int_0^1 e^{-t},dt

$$

である。右辺は

$$ \int_0^1 e^{-t},dt=\left[-e^{-t}\right]_0^1=1-e^{-1}

$$

だから、

$$ 0\leq \int_0^1 t^n e^{-t},dt\leq 1-e^{-1}

$$

が示された。

（2） 定義より

$$ a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1 t^n e^{-t},dt

$$

である。(1)より

$$ 0\leq a_n\leq \frac{1-e^{-1}}{n!}

$$

が成り立つ。ここで $n!\to \infty$ より

$$ \frac{1-e^{-1}}{n!}\to 0

$$

である。よって、はさみうちの原理により

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=0

$$

である。

**(3)**

$I_{n+1}$ を部分積分する。$u=t^{n+1}$、$dv=e^{-t},dt$ とおくと、$du=(n+1)t^n,dt$、$v=-e^{-t}$ であるから、

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &=\int_0^1 t^{n+1}e^{-t},dt\\ &=\left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1+(n+1)\int_0^1 t^n e^{-t},dt\\ &=-e^{-1}+(n+1)I_n \end{aligned}

$$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{I_{n+1}}{(n+1)!}\\ &=\frac{-e^{-1}+(n+1)I_n}{(n+1)!}\\ &=-\frac{1}{(n+1)!e}+\frac{I_n}{n!}\\ &=a_n-\frac{1}{(n+1)!e} \end{aligned}

$$

である。よって

$$ a_{n+1}=a_n-\frac{1}{(n+1)!e}

$$

が示された。

（4） (3)の式を変形すると、

$$ \frac{1}{(n+1)!e}=a_n-a_{n+1}

$$

である。これを $n=1,2,\ldots,N$ について足し合わせると、

$$ \sum_{n=1}^N \frac{1}{(n+1)!e} =\sum_{n=1}^N(a_n-a_{n+1}) =a_1-a_{N+1}

$$

となる。両辺に $e$ をかけて

$$ \sum_{n=1}^N \frac{1}{(n+1)!} =e(a_1-a_{N+1})

$$

を得る。

ここで $a_1$ を求める。

$$ a_1=\int_0^1 t e^{-t},dt

$$

であり、部分積分により

$$ \begin{aligned} \int_0^1 t e^{-t},dt &=\left[-te^{-t}\right]_0^1+\int_0^1 e^{-t},dt\\ &=-e^{-1}+1-e^{-1}\\ &=1-\frac{2}{e} \end{aligned}

$$

だから、

$$ ea_1=e-2

$$

である。また (2) より $a_{N+1}\to 0$ だから、$N\to\infty$ とすると

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)!} =e-2

$$

となる。左辺は

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)!} =\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!}

$$

であるから、

$$ \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!}=e-2

$$

したがって

$$ e=2+\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} =1+\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}

$$

が示された。

解説

この問題の中心は、積分で定義された数列をそのまま扱うのではなく、

$$ I_n=\int_0^1 t^n e^{-t},dt

$$

とおいて、$I_{n+1}$ と $I_n$ の関係を作ることである。

(1) と (2) は $0\leq t\leq 1$ における $t^n$ の基本的な評価を使う。特に、$t^n$ は $0$ に近づく性質をもつが、(2) ではそれを直接使わなくても、$n!$ で割られていることから十分に $a_n\to 0$ が従う。

(3) では部分積分によって漸化式を得る。この漸化式は

$$ a_n-a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!e}

$$

という形になり、右辺が階乗を含む級数の一般項になる。したがって (4) ではこの式を足し合わせることで、望む無限級数が自然に現れる。

答え

**(1)**

$$ 0\leq \int_0^1 t^n e^{-t},dt\leq 1-e^{-1}

$$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=0

$$

**(3)**

$$ a_{n+1}=a_n-\frac{1}{(n+1)!e}

$$

**(4)**

$$ e=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}

$$