解説

方針・初手

(1) の導関数を確認すると、$x\sin x+\cos x$ は微分するとかなり簡単になる。

(2) の積分では、被積分関数をそのまま積分しようとせず、商の微分形を探す。特に $\dfrac{\cos x}{x}$ の導関数に注目するとよい。

解法1

まず、関数

$$ f(x)=x\sin x+\cos x

$$

を考える。

積の微分を用いると、

$$ \frac{d}{dx}(x\sin x)=\sin x+x\cos x

$$

であり、また

$$ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x

$$

である。したがって、

$$ f'(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x

$$

となる。

次に、(2) の積分を計算する。被積分関数は

$$ \frac{x\sin x+\cos x}{x^2}

$$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{x}\right) &= \frac{-x\sin x-\cos x}{x^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{x\sin x+\cos x}{x^2} &= -\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{x}\right) \end{aligned} $$

と書ける。

よって、

$$ \begin{aligned} \int_{2n\pi}^{2(n+1)\pi}\frac{x\sin x+\cos x}{x^2},dx &= \left[-\frac{\cos x}{x}\right]_{2n\pi}^{2(n+1)\pi} \\ &= -\frac{\cos 2(n+1)\pi}{2(n+1)\pi} +\frac{\cos 2n\pi}{2n\pi} \end{aligned}

$$

となる。

$n$ は自然数なので、$\cos 2n\pi=1$、$\cos 2(n+1)\pi=1$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_n &= -\frac{1}{2(n+1)\pi}+\frac{1}{2n\pi} \\ &= \frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \end{aligned}

$$

である。

最後に、無限級数を求める。

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}a_n &= \frac{1}{2\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \end{aligned} $$

ここで、部分和を $S_N$ とすると、

$$ \begin{aligned} S_N &= \frac{1}{2\pi}\left\{\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right)\right\} \\ &= \frac{1}{2\pi}\left(1-\frac{1}{N+1}\right) \end{aligned}

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}a_n &= \lim_{N\to\infty}S_N \\ \frac{1}{2\pi} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の中心は、被積分関数を直接積分するのではなく、商の微分として見ることである。

特に、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{x}\right) &= -\frac{x\sin x+\cos x}{x^2} \end{aligned} $$

に気づけば、(2) はすぐに端点代入で処理できる。

また、積分区間の端点が $2n\pi$ と $2(n+1)\pi$ であるため、$\cos x$ の値がどちらも $1$ になる。このため $a_n$ は

$$ \frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)

$$

という望ましい形になり、(3) は望遠和として処理できる。

答え

**(1)**

$$ x\cos x

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) =\frac{1}{2\pi n(n+1)}

$$

**(3)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{1}{2\pi}

$$