解説

方針・初手

$f(x)=x(1-x)e^{-x}$ は、符号・増減・凹凸を調べれば概形が決まる。

接線が原点を通る条件は、接点を $x=a$ とおくと、接線の方程式に $(0,0)$ を代入して

$$ f(a)=a f'(a)

$$

と表せる。この条件から接点を求め、最後に曲線と直線で囲まれる部分を積分で求める。

解法1

まず

$$ f(x)=x(1-x)e^{-x}

$$

であるから、零点は

$$ x=0,\quad x=1

$$

である。

微分すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(x-x^2)'e^{-x}+(x-x^2)(e^{-x})'\\ &=(1-2x)e^{-x}-(x-x^2)e^{-x}\\ &=(x^2-3x+1)e^{-x} \end{aligned}

$$

となる。

$e^{-x}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $x^2-3x+1$ の符号で決まる。

$$ x^2-3x+1=0

$$

の解は

$$ x=\frac{3-\sqrt5}{2},\quad \frac{3+\sqrt5}{2}

$$

である。よって、増減は

$$ \begin{cases} \text{増加} & \left(-\infty,\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right),\\ \text{減少} & \left(\dfrac{3-\sqrt5}{2},\dfrac{3+\sqrt5}{2}\right),\\ \text{増加} & \left(\dfrac{3+\sqrt5}{2},\infty\right) \end{cases}

$$

となる。

次に凹凸を調べる。再び微分すると

$$ \begin{aligned} f''(x) &={(x^2-3x+1)e^{-x}}'\\ &=(2x-3)e^{-x}-(x^2-3x+1)e^{-x}\\ &=(-x^2+5x-4)e^{-x}\\ &=-(x-1)(x-4)e^{-x} \end{aligned}

$$

である。

$e^{-x}>0$ より、$f''(x)$ の符号は $-(x-1)(x-4)$ の符号で決まる。したがって

$$ \begin{cases} f''(x)<0 & (x<1),\\ f''(x)>0 & (1<x<4),\\ f''(x)<0 & (x>4) \end{cases}

$$

である。

よって、$C$ は

$$ (-\infty,1),\ (4,\infty)

$$

で上に凸、

$$ (1,4)

$$

で下に凸である。また、変曲点は

$$ (1,0),\quad \left(4,-12e^{-4}\right)

$$

である。

ここで、$x\to \infty$ のとき $f(x)\to 0$ を用いてよいので、右側では $x$ 軸に下から近づく。また、$x\to -\infty$ のときは $x(1-x)\to -\infty$ かつ $e^{-x}\to \infty$ であるから、$f(x)\to -\infty$ である。

以上より、$C$ は原点と $(1,0)$ を通り、$0<x<1$ で $x$ 軸の上側、$x<0$ および $x>1$ で $x$ 軸の下側にある。さらに

$$ x=\frac{3-\sqrt5}{2}

$$

で極大、

$$ x=\frac{3+\sqrt5}{2}

$$

で極小をとる。

次に、原点を通り、原点以外の点で $C$ に接する直線を求める。接点の $x$ 座標を $a$ とすると、$a\neq 0$ であり、接線は

$$ y=f(a)+f'(a)(x-a)

$$

である。

この直線が原点を通るから、

$$ 0=f(a)-a f'(a)

$$

すなわち

$$ f(a)=a f'(a)

$$

である。

ここに

$$ f(a)=a(1-a)e^{-a},\quad f'(a)=(a^2-3a+1)e^{-a}

$$

を代入する。$a\neq 0$ かつ $e^{-a}>0$ なので、

$$ a(1-a)e^{-a}=a(a^2-3a+1)e^{-a}

$$

より

$$ 1-a=a^2-3a+1

$$

となる。したがって

$$ a^2-2a=0

$$

であり、

$$ a=0,\quad 2

$$

を得る。$a\neq 0$ だから

$$ a=2

$$

である。

接点は

$$ \left(2,f(2)\right)=\left(2,-2e^{-2}\right)

$$

であり、接線の傾きは

$$ f'(2)=(4-6+1)e^{-2}=-e^{-2}

$$

である。よって接線 $l$ は

$$ y+2e^{-2}=-e^{-2}(x-2)

$$

すなわち

$$ l:y=-e^{-2}x

$$

である。

次に、$C$ と $l$ の交点を調べる。

$$ x(1-x)e^{-x}=-xe^{-2}

$$

より

$$ x{(1-x)e^{-x}+e^{-2}}=0

$$

である。したがって $x=0$ は交点である。

$x\neq 0$ のとき、

$$ (1-x)e^{-x}+e^{-2}=0

$$

すなわち

$$ (x-1)e^{-x}=e^{-2}

$$

である。$t=x-1$ とおくと

$$ te^{-t}=e^{-1}

$$

となる。関数 $te^{-t}$ は $t>0$ で $t=1$ のとき最大値 $e^{-1}$ をとるので、この方程式の解は

$$ t=1

$$

のみである。よって

$$ x=2

$$

である。

したがって、$C$ と $l$ は $x=0$ と $x=2$ で接し、囲まれる部分は $0\leqq x\leqq 2$ にある。

この区間で曲線 $C$ は直線 $l$ の上側にあるので、求める面積を $S$ とすると

$$ S=\int_0^2{f(x)-(-e^{-2}x)},dx

$$

である。すなわち

$$ S=\int_0^2\left\{x(1-x)e^{-x}+xe^{-2}\right\},dx

$$

である。

まず

$$ \int (x-x^2)e^{-x},dx=(x^2+x+1)e^{-x}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^2 x(1-x)e^{-x},dx &= \left[(x^2+x+1)e^{-x}\right]_0^2 \\ 7e^{-2}-1 \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} \int_0^2 xe^{-2},dx &= e^{-2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 \\ 2e^{-2} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ S=(7e^{-2}-1)+2e^{-2}=9e^{-2}-1

$$

である。

解説

この問題の前半は、増減と凹凸を正確に調べる標準問題である。特に $e^{-x}>0$ なので、$f'(x)$ や $f''(x)$ の符号は多項式部分だけで決まる。

後半の接線条件では、接点を $a$ とおき、原点を通る条件を

$$ f(a)=a f'(a)

$$

に変換するのが要点である。これにより接点が $a=2$ と一意に決まる。

面積計算では、曲線と接線の交点が $x=0,2$ のみであることを確認してから積分する必要がある。接しているからといって、囲まれる範囲を確認せずに積分すると、区間の取り違えが起こりやすい。

答え

**(1)**

$C$ は $x=0,1$ で $x$ 軸と交わる。

増減は

$$ \begin{cases} \text{増加} & \left(-\infty,\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right),\\ \text{減少} & \left(\dfrac{3-\sqrt5}{2},\dfrac{3+\sqrt5}{2}\right),\\ \text{増加} & \left(\dfrac{3+\sqrt5}{2},\infty\right) \end{cases}

$$

である。

凹凸は

$$ \begin{cases} \text{上に凸} & (-\infty,1),\ (4,\infty),\\ \text{下に凸} & (1,4) \end{cases}

$$

であり、変曲点は

$$ (1,0),\quad \left(4,-12e^{-4}\right)

$$

である。

**(2)**

接線は

$$ l:y=-e^{-2}x

$$

である。

$C$ と $l$ で囲まれる図形の面積は

$$ 9e^{-2}-1

$$

である。