解説

方針・初手

接線の方程式をまず求め、その直線を $x=0$ から $x=1$ まで積分すれば、台形の面積 $S(t)$ が得られる。あとは $t$ の関数として微分し、$0 \leqq t \leqq 1$ の範囲で最大・最小を調べる。

解法1

$y=a^x$ を微分すると、

$$ y'=a^x\log a

$$

である。したがって、点 $(t,a^t)$ における接線 $l$ の傾きは $a^t\log a$ である。

よって接線 $l$ の方程式は

$$ y-a^t=a^t\log a(x-t)

$$

すなわち

$$ y=a^t\log a(x-t)+a^t

$$

である。

$b(t)$ について

接線 $l$ と $y$ 軸との交点は $x=0$ のときであるから、

$$ b(t)=a^t(1-t\log a)

$$

である。

ここで $1<a<2$ より $0<\log a<\log2<1$ である。$b(t)$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} b'(t) &=a^t\log a(1-t\log a)-a^t\log a \\ &=-t a^t(\log a)^2 \end{aligned}

$$

である。

したがって、$0<t\leqq 1$ で $b'(t)<0$ となるので、$b(t)$ は $0\leqq t\leqq 1$ で単調減少である。よって最小値は $t=1$ のときで、

$$ b(1)=a(1-\log a)

$$

である。

$S(t)$ について

接線 $l$ は傾きが正であり、$x=0$ における値は

$$ a^t(1-t\log a)>0

$$

である。したがって $0\leqq x\leqq 1$ において接線 $l$ は $x$ 軸より上にある。

よって、接線 $l$、$x$ 軸、直線 $x=0,x=1$ で囲まれた台形の面積は

$$ S(t)=\int_0^1 {a^t\log a(x-t)+a^t},dx

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S(t) &=a^t\int_0^1 {1+(x-t)\log a},dx \\ &=a^t\left[1+\left(\frac{1}{2}-t\right)\log a\right] \end{aligned}

$$

である。

次に $S(t)$ の最大値・最小値を調べる。

$$ S(t)=a^t\left[1+\left(\frac{1}{2}-t\right)\log a\right]

$$

を微分すると、

$$ \begin{aligned} S'(t) &=a^t\log a\left[1+\left(\frac{1}{2}-t\right)\log a\right]-a^t\log a \\ &=a^t(\log a)^2\left(\frac{1}{2}-t\right) \end{aligned}

$$

である。

したがって、$0\leqq t<\dfrac{1}{2}$ で $S'(t)>0$、$\dfrac{1}{2}<t\leqq 1$ で $S'(t)<0$ となる。よって $S(t)$ は $t=\dfrac{1}{2}$ で最大値をとる。

最大値は

$$ S\left(\frac{1}{2}\right) =a^{1/2}\left[1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\log a\right] =\sqrt{a}

$$

である。

最小値は端点 $t=0,1$ のどちらかでとる。

$$ S(0)=1+\frac{1}{2}\log a

$$

$$ S(1)=a\left(1-\frac{1}{2}\log a\right)

$$

である。

ここで $L=\log a$ とおくと、$a=e^L$ であり、$L>0$ である。差をとると、

$$ S(1)-S(0)=e^L\left(1-\frac{L}{2}\right)-\left(1+\frac{L}{2}\right)

$$

である。右辺を

$$ F(L)=e^L\left(1-\frac{L}{2}\right)-\left(1+\frac{L}{2}\right)

$$

とおくと、

$$ F(0)=0

$$

であり、

$$ F'(L)=\frac{e^L(1-L)-1}{2}

$$

である。さらに

$$ G(L)=e^L(1-L)

$$

とおくと、

$$ G'(L)=-Le^L<0 \quad (L>0)

$$

であるから、$G(L)<G(0)=1$ である。したがって

$$ F'(L)<0 \quad (L>0)

$$

となる。

よって $F(L)<0$ であり、

$$ S(1)<S(0)

$$

である。したがって、$S(t)$ の最小値は $t=1$ のときで、

$$ S(1)=a\left(1-\frac{1}{2}\log a\right)

$$

である。

解説

この問題では、接線の式を $t$ の関数として正確に立てることが最初の要点である。特に、接線の $y$ 切片 $b(t)$ も、面積 $S(t)$ も、最終的には $t$ の関数になる。

面積 $S(t)$ は、台形として求めてもよいが、接線の式を $0$ から $1$ まで積分すると処理が安定する。接線が $x$ 軸より上にあることは、$1<a<2$ より $\log a<1$ であることから確認できる。

最大値は微分により $t=\dfrac{1}{2}$ で決まる。一方、最小値は端点比較が必要であり、$S(0)$ と $S(1)$ の大小を省略しないことが重要である。

答え

**(1)**

接線 $l$ の方程式は

$$ y=a^t\log a(x-t)+a^t

$$

である。

また、

$$ b(t)=a^t(1-t\log a)

$$

であり、$b(t)$ の最小値は

$$ a(1-\log a)

$$

である。

**(2)**

$$ S(t)=a^t\left[1+\left(\frac{1}{2}-t\right)\log a\right]

$$

である。

**(3)**

$$ S(t)

$$

の最大値は

$$ \sqrt{a}

$$

である。

**(4)**

$$ S(t)

$$

の最小値は

$$ a\left(1-\frac{1}{2}\log a\right)

$$

である。