解説

方針・初手

共通の接線をもつ点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とするので、点 $P$ は両曲線上にあり、さらにその点での微分係数が等しい。したがって、まず

$$ t^n=a\log t,\qquad nt^{n-1}=\frac{a}{t}

$$

を立てる。

面積は、$t>1$ が分かってから、$S_1$ は $0\le x\le t$、$S_2$ は $1\le x\le t$ の定積分として求める。最後の極限では、与えられた不等式を $x=\dfrac1n$ に適用する。

解法1

点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y=x^n$ と曲線 $y=a\log x$ が点 $P$ で交わるので、

$$ t^n=a\log t

$$

である。また、両曲線が点 $P$ で共通の接線をもつから、微分係数も等しい。

$$ nt^{n-1}=\frac{a}{t}

$$

したがって、

$$ a=nt^n

$$

である。これを $t^n=a\log t$ に代入すると、

$$ t^n=nt^n\log t

$$

となる。$t>0$ より $t^n>0$ だから、

$$ 1=n\log t

$$

すなわち

$$ \log t=\frac1n

$$

である。よって、

$$ t=e^{1/n}

$$

であり、

$$ a=nt^n=n\left(e^{1/n}\right)^n=ne

$$

を得る。

次に面積を求める。まず、

$$ S_1=\int_0^t x^n,dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^t=\frac{t^{n+1}}{n+1}

$$

である。

一方、$t=e^{1/n}>1$ であり、$a\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。したがって、

$$ S_2=\int_1^t a\log x,dx

$$

である。部分積分、または $\int \log x,dx=x\log x-x$ より、

$$ S_2=a\left[x\log x-x\right]_1^t

$$

となるから、

$$ S_2=a(t\log t-t+1)

$$

である。ここで $a=nt^n,\ \log t=\dfrac1n$ を用いると、

$$ S_2=nt^n\left(\frac{t}{n}-t+1\right)

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= \frac{nt^n\left(\frac{t}{n}-t+1\right)}{\frac{t^{n+1}}{n+1}} \end{aligned} $$

となる。整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= (n+1)\left(1-n+\frac{n}{t}\right) \end{aligned} $$

であり、$t=e^{1/n}$ だから、

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= (n+1)\left(ne^{-1/n}-n+1\right) \end{aligned} $$

である。

次に、$x\geqq 0$ における不等式を示す。

**(a)**

$$ e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}

$$

を示す。関数

$$ f(x)=\frac{x^2}{2}-e^{-x}-x+1

$$

を考える。このとき、

$$ f(0)=0

$$

であり、

$$ f'(x)=x+e^{-x}-1

$$

である。さらに、

$$ f''(x)=1-e^{-x}

$$

である。$x\geqq 0$ では $e^{-x}\leqq 1$ だから、

$$ f''(x)\geqq 0

$$

である。よって $f'(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加する。しかも

$$ f'(0)=0

$$

だから、

$$ f'(x)\geqq 0

$$

である。したがって $f(x)$ も $x\geqq 0$ で単調増加し、$f(0)=0$ より

$$ f(x)\geqq 0

$$

である。ゆえに、

$$ e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}

$$

が成り立つ。

**(b)**

$$ \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1

$$

を示す。関数

$$ g(x)=e^{-x}+x-1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}

$$

を考える。このとき、

$$ g(0)=0

$$

である。また、

$$ g'(x)=-e^{-x}+1-x+\frac{x^2}{2}

$$

$$ g''(x)=e^{-x}-1+x

$$

$$ g'''(x)=-e^{-x}+1

$$

である。$x\geqq 0$ では $e^{-x}\leqq 1$ より、

$$ g'''(x)\geqq 0

$$

である。したがって $g''(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加する。さらに

$$ g''(0)=0

$$

だから、

$$ g''(x)\geqq 0

$$

である。よって $g'(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加する。しかも

$$ g'(0)=0

$$

だから、

$$ g'(x)\geqq 0

$$

である。したがって $g(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加し、$g(0)=0$ より

$$ g(x)\geqq 0

$$

である。ゆえに、

$$ \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1

$$

が成り立つ。

以上より、

$$ \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}

$$

が成り立つ。

最後に、極限を求める。先に得た

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= (n+1)\left(ne^{-1/n}-n+1\right) \end{aligned} $$

を変形する。

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= n(n+1)\left(e^{-1/n}+\frac1n-1\right) \end{aligned} $$

ここで、(3) の不等式に $x=\dfrac1n$ を代入すると、

$$ \frac{1}{2n^2}-\frac{1}{6n^3} \leqq e^{-1/n}+\frac1n-1 \leqq \frac{1}{2n^2}

$$

である。各辺に正の数 $n(n+1)$ を掛けると、

$$ \frac{n+1}{2n}-\frac{n+1}{6n^2} \leqq \frac{S_2}{S_1} \leqq \frac{n+1}{2n}

$$

となる。ここで、

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2n}-\frac{n+1}{6n^2}\right)=\frac12

$$

かつ

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12

$$

である。はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{S_2}{S_1}=\frac12

$$

である。

解説

共通接線の問題では、「同じ点を通る」だけでなく「その点での傾きが等しい」ことを式にするのが初手である。今回なら、値の一致

$$ t^n=a\log t

$$

と、微分係数の一致

$$ nt^{n-1}=\frac{a}{t}

$$

を同時に使う。

また、$S_2$ の積分範囲に注意する必要がある。$a\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、$t=e^{1/n}>1$ であるから、$S_2$ は $0$ から $t$ ではなく、$1$ から $t$ までの面積である。

極限では、単に指数関数の展開を使うのではなく、(3) で示した不等式を $x=\dfrac1n$ に代入して評価するのが問題の流れに沿った処理である。

答え

**(1)**

$$ t=e^{1/n},\qquad a=ne

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= (n+1)\left(ne^{-1/n}-n+1\right) \end{aligned} $$

**(3)**

$x\geqq 0$ において、

$$ \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}

$$

が成り立つ。

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{S_2}{S_1}=\frac12

$$