解説

方針・初手

原点以外の交点を $\alpha$ とおき、まず面積 $S$ を $\alpha$ を用いて表す。交点条件は

$$ \tan \alpha=a\alpha

$$

であり、$a\to\infty$ のとき $\alpha\to \dfrac{\pi}{2}$ となる。したがって、主項は積分中の $\dfrac{a\alpha^2}{2}$ から現れる。

解法1

関数

$$ \frac{\tan x}{x}\quad \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)

$$

を考える。この関数は単調増加であり、$x\to +0$ のとき $1$ に近づき、$x\to \dfrac{\pi}{2}-0$ のとき $+\infty$ に発散する。

したがって、$a>1$ に対して

$$ \frac{\tan x}{x}=a

$$

を満たす $\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ がただ1つ存在する。つまり、原点以外の交点は $x=\alpha$ である。

また、$0<x<\alpha$ では

$$ \frac{\tan x}{x}<a

$$

より

$$ \tan x<ax

$$

である。よって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^\alpha (ax-\tan x),dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^\alpha ax,dx-\int_0^\alpha \tan x,dx \\ &=\frac{a\alpha^2}{2}+\log \cos \alpha \end{aligned}

$$

となる。したがって

$$ \frac{S}{a}=\frac{\alpha^2}{2}+\frac{\log \cos\alpha}{a}

$$

である。

ここで、交点条件

$$ \tan \alpha=a\alpha

$$

を用いる。$a\to\infty$ のとき、右辺は大きくなるので、$\tan\alpha$ も大きくなる。ゆえに

$$ \alpha\to\frac{\pi}{2}

$$

である。したがって

$$ \frac{\alpha^2}{2}\to \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{8}

$$

である。

残る項

$$ \frac{\log \cos\alpha}{a}

$$

が $0$ に近づくことを示す。

$t=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ とおくと、$t\to +0$ であり、

$$ \cos\alpha=\sin t

$$

である。また

$$ \tan\alpha=\cot t

$$

だから、交点条件より

$$ \cot t=a\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=a\alpha

$$

である。したがって

$$ \tan t=\frac{1}{a\alpha}

$$

となる。

$a$ が十分大きいとき、$\alpha>\dfrac{\pi}{4}$ であるから、

$$ \frac{2}{\pi a}<\tan t<\frac{4}{\pi a}

$$

が成り立つ。また、このとき $t<\dfrac{\pi}{4}$ なので $\cos t>\dfrac{1}{\sqrt2}$ である。よって

$$ \sin t=\tan t\cos t>\frac{2}{\pi a}\cdot \frac{1}{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{\pi a}

$$

である。一方、$\sin t\le 1$ より、

$$ \log \frac{\sqrt2}{\pi a}<\log\sin t\le 0

$$

が成り立つ。

したがって

$$ \frac{-\log a+\log\frac{\sqrt2}{\pi}}{a} < \frac{\log\sin t}{a} \le 0

$$

である。

ここで、与えられた

$$ \lim_{x\to +0}x\log x=0

$$

において $x=\dfrac{1}{a}$ とすれば、

$$ \begin{aligned} \frac{\log a}{a} &= -\frac{1}{a}\log\frac{1}{a} \to 0 \end{aligned} $$

である。よって、はさみうちにより

$$ \frac{\log\sin t}{a}\to 0

$$

である。すなわち

$$ \frac{\log\cos\alpha}{a}\to 0

$$

である。

以上より、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}\frac{S}{a} &= \frac{\pi^2}{8}+0 \\ \frac{\pi^2}{8} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、交点の位置を明示的に解くのではなく、交点 $\alpha$ が $a\to\infty$ で $\dfrac{\pi}{2}$ に近づくことを利用する点である。

面積は

$$ S=\frac{a\alpha^2}{2}+\log\cos\alpha

$$

と表される。第1項を $a$ で割ると $\dfrac{\alpha^2}{2}$ になり、これはすぐに $\dfrac{\pi^2}{8}$ に近づく。一方で、$\log\cos\alpha$ は $\alpha\to\dfrac{\pi}{2}$ により $-\infty$ に発散するため、単に無視してはいけない。

そこで $t=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ とおき、交点条件から $\sin t$ がだいたい $\dfrac{1}{a}$ 程度であることを評価する。すると $\log\cos\alpha=\log\sin t$ は高々 $\log a$ 程度の大きさであり、$a$ で割ると $0$ に近づく。ここで与えられた $\lim_{x\to+0}x\log x=0$ が使われる。

答え

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}\frac{S}{a} &= \frac{\pi^2}{8} \end{aligned} $$