解説

方針・初手

$f_{n+1}(x)$ は $f_n(x)$ を $0$ から $x$ まで積分して得られる関数である。したがって、$f_n(x)$ は $e^x$ のテイラー展開の余りに対応している。

まず漸化的定義から $f_n(x)$ と $e^x$ の関係を帰納法で示す。次に、$f_n(x)$ を積分表示に直して評価する。

解法1

まず $n=1$ のとき、

$$ f_1(x)=\int_0^x e^t,dt=e^x-1

$$

であるから、

$$ e^x=1+f_1(x)

$$

となり、(1) は成り立つ。

次に、ある $n\geqq 1$ に対して

$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+f_n(x)

$$

が成り立つと仮定する。この式を変形すると、

$$ f_n(x)=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)

$$

である。

これを $0$ から $x$ まで積分すると、

$$ \begin{aligned} f_{n+1}(x) &=\int_0^x f_n(t),dt \\ &=\int_0^x \left\{e^t-\left(1+t+\frac{t^2}{2!}+\cdots+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\right)\right\},dt \\ &=(e^x-1)-\left(x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right) \\ &=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right). \end{aligned}

$$

したがって、

$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+f_{n+1}(x)

$$

となる。よって数学的帰納法により、すべての $n\geqq 1$ に対して

$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+f_n(x)

$$

が成り立つ。

次に (2) を示す。$f_n(x)$ は $e^x$ のテイラー展開の積分形の余りとして

$$ f_n(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}e^t,dt

$$

と表せることを示す。

$n=1$ のとき、

$$ f_1(x)=\int_0^x e^t,dt

$$

であり、右辺の式も

$$ \frac{1}{0!}\int_0^x (x-t)^0e^t,dt=\int_0^x e^t,dt

$$

だから成り立つ。

$n$ のとき成り立つとすると、

$$ \begin{aligned} f_{n+1}(x) &=\int_0^x f_n(u),du \\ &=\int_0^x \left\{\frac{1}{(n-1)!}\int_0^u (u-t)^{n-1}e^t,dt\right\},du. \end{aligned}

$$

積分順序を入れ替えると、$0\leqq t\leqq u\leqq x$ より、

$$ \begin{aligned} f_{n+1}(x) &=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x \left\{\int_t^x (u-t)^{n-1},du\right\}e^t,dt \\ &=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x \frac{(x-t)^n}{n}e^t,dt \\ &=\frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^n e^t,dt. \end{aligned}

$$

よって、すべての $n\geqq 1$ に対して

$$ f_n(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}e^t,dt

$$

が成り立つ。

ここで $x\geqq 0$ とする。$0\leqq t\leqq x$ では

$$ (x-t)^{n-1}\geqq 0,\qquad e^t>0

$$

であるから、

$$ f_n(x)\geqq 0

$$

である。

また、$0\leqq t\leqq x$ では $e^t\leqq e^x$ だから、

$$ \begin{aligned} f_n(x) &=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}e^t,dt \\ &\leqq \frac{e^x}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1},dt \\ &=\frac{e^x}{(n-1)!}\cdot \frac{x^n}{n} \\ &=\frac{x^n}{n!}e^x. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ 0\leqq f_n(x)\leqq \frac{x^n}{n!}e^x

$$

が示された。

最後に (3) を求める。(2) において $x=1$ とすると、

$$ 0\leqq f_n(1)\leqq \frac{e}{n!}

$$

である。

ここで

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{e}{n!}=0

$$

だから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}f_n(1)=0

$$

である。

解説

この問題の中心は、$f_n(x)$ が $e^x$ のテイラー展開の余りになっていることを見抜く点である。

(1) は漸化的定義をそのまま使えば帰納法で示せる。(2) では、単に (1) の式から評価しようとすると、交代級数ではないため扱いにくい。そこで $f_n(x)$ を積分形の余り

$$ f_n(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}e^t,dt

$$

として表すのが有効である。

$x\geqq 0$ では積分区間上で $e^t\leqq e^x$ が使えるため、上から簡単に評価できる。この評価により、$f_n(1)$ は $e/n!$ 以下であることが分かり、極限は直ちに $0$ となる。

答え

**(1)**

$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+f_n(x)

$$

**(2)**

$$ 0\leqq f_n(x)\leqq \frac{x^n}{n!}e^x \qquad (n\geqq 1,\ x\geqq 0)

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}f_n(1)=0

$$