解説

方針・初手

接線の方程式は、$y=\log x$ の微分係数を用いて求める。

面積は、接線が曲線 $y=\log x$ の上側にあることを確認したうえで、$x=1$ から $x=e$ まで「接線の高さ $-$ 曲線の高さ」を積分すればよい。

解法1

$y=\log x$ とおくと、

$$ y'=\frac{1}{x}

$$

である。点 $(t,\log t)$ における接線 $\ell$ の傾きは $\frac{1}{t}$ であるから、接線 $\ell$ の方程式は

$$ y-\log t=\frac{1}{t}(x-t)

$$

すなわち

$$ \ell:\ y=\frac{x}{t}+\log t-1

$$

である。

次に、$1\leqq t\leqq e$ とする。接線と曲線の上下関係を確認するため、

$$ h(x)=\left(\frac{x}{t}+\log t-1\right)-\log x

$$

とおく。すると

$$ h'(x)=\frac{1}{t}-\frac{1}{x}=\frac{x-t}{tx}

$$

である。

したがって、$h(x)$ は $0<x<t$ で減少し、$x>t$ で増加する。また、

$$ h(t)=\frac{t}{t}+\log t-1-\log t=0

$$

であるから、すべての $x>0$ に対して $h(x)\geqq 0$ である。よって、接線 $\ell$ は曲線 $y=\log x$ の上側にある。

したがって、求める面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\int_1^e \left\{\frac{x}{t}+\log t-1-\log x\right\},dx

$$

である。各項を計算すると、

$$ \int_1^e \frac{x}{t},dx=\frac{e^2-1}{2t}

$$

また、

$$ \int_1^e(\log t-1),dx=(e-1)(\log t-1)

$$

さらに、

$$ \begin{aligned} \int_1^e \log x,dx &= \left[x\log x-x\right]_1^e \\ (e-e)-(-1) \\ 1 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S(t) &=\frac{e^2-1}{2t}+(e-1)(\log t-1)-1\\ &=\frac{e^2-1}{2t}+(e-1)\log t-e \end{aligned}

$$

を得る。

最後に、$1\leqq t\leqq e$ における $S(t)$ の最小値を求める。

$$ \begin{aligned} S'(t) &= -\frac{e^2-1}{2t^2}+\frac{e-1}{t} \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} S'(t) &= \frac{e-1}{t}-\frac{(e-1)(e+1)}{2t^2}\\ &= \frac{(e-1){2t-(e+1)}}{2t^2} \end{aligned}

$$

となる。

$1\leqq t\leqq e$ において、$e-1>0,\ t^2>0$ であるから、$S'(t)$ の符号は $2t-(e+1)$ の符号で決まる。したがって、

$$ S'(t)=0

$$

となるのは

$$ t=\frac{e+1}{2}

$$

のときである。

また、

$$ 1<\frac{e+1}{2}<e

$$

であるから、この値は範囲内にある。$S'(t)$ は

$$ 1\leqq t<\frac{e+1}{2}

$$

で負、

$$ \frac{e+1}{2}<t\leqq e

$$

で正である。よって、$S(t)$ は $t=\frac{e+1}{2}$ で最小となる。

その最小値は

$$ \begin{aligned} S\left(\frac{e+1}{2}\right) &= \frac{e^2-1}{2\cdot \frac{e+1}{2}} +(e-1)\log\frac{e+1}{2} -e\\ &= \frac{e^2-1}{e+1} +(e-1)\log\frac{e+1}{2} -e\\ &= (e-1)+(e-1)\log\frac{e+1}{2}-e\\ &= (e-1)\log\frac{e+1}{2}-1 \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題では、$y=\log x$ が上に凸ではなく下に凸、すなわち $y''=-\frac{1}{x^2}<0$ であることから、接線が曲線の上側にくることが重要である。

ただし、面積を計算するときに上下関係を曖昧にすると符号を誤る。そこで、接線と曲線の差

$$ h(x)=\left(\frac{x}{t}+\log t-1\right)-\log x

$$

を作り、$h(x)\geqq 0$ を確認してから積分するのが安全である。

最小値については、面積 $S(t)$ を明示的に求めたあと、通常の微分による増減判定で処理すればよい。端点 $t=1,e$ だけを見るのではなく、内部の臨界点 $t=\frac{e+1}{2}$ を確認する必要がある。

答え

**(1)**

$$ \ell:\ y=\frac{x}{t}+\log t-1

$$

**(2)**

$$ S(t)=\frac{e^2-1}{2t}+(e-1)\log t-e

$$

**(3)**

$$ t=\frac{e+1}{2}

$$

のとき最小となり、最小値は

$$ (e-1)\log\frac{e+1}{2}-1

$$